Riemannova funkce zeta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Riemannova funkce zeta, označovaná pomocí řeckého písmene ζ jako ζ(s), je důležitý pojem v analytické teorii čísel. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. Riemannovy hypotézy, která patří k nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady:

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1, a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel různých od 1.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Je-li s ≤ 1, řada diverguje:

  • je-li s = -1, pak
  • je-li s = 1/2, pak
  • je-li s = 0, pak
  • je-li s = 1, pak
, což je tzv. harmonická řada

Je-li s > 1, řada absolutně konverguje:

  • je-li s = 2, pak

Zeta funkce je pro rovna tzv. Eulerovu součinu:

, kde P je množina všech prvočísel.

Tento součin se poprvé objevil, i když v trochu jiném tvaru, v článku s názvem Variae observationes circa series infinitas („Různé poznámky o nekonečných řadách“) napsaném Leonhardem Eulerem [1].
Důkaz této rovnosti je vlastně postup, jakým Euler k této souvislosti došel, a je následující:
Funkce zeta na levé straně je pro připomenutí ve tvaru

Nyní vynásobíme obě strany rovnosti číslem a dostaneme

Tento výraz odečteme od předchozího, což nám dá

Odečtení vyloučilo všechny členy se sudým jmenovatelem a zůstaly nám jen členy s lichým jmenovatelem. Pokračujeme tak, že obě strany vynásobíme číslem :

Nyní odečteme tento výraz od předchozího:

Z nekonečného součtu zmizely všechny násobky tří. Dále vynásobíme obě strany číslem :

Odečtením dostaneme

Je vidět, že při odčítání pravých stran vynecháváme samotné prvočíslo spolu s jeho násobky. Kdybychom v tomto postupu pokračovali až do nekonečna, je zřejmé, že dojdeme k rovnosti

Vydělením obou stran této rovnice postupně všemi výrazy v závorkách dostaneme výsledný vzorec, který jsme chtěli dokázat

Jak součet na levé straně, tak i součin na pravé pokračují do nekonečna. To ve skutečnosti poskytuje důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Kdyby jich totiž byl konečný počet, pak by i součin na pravé straně měl konečný počet členů a pro každé číslo s by měl určitou konečnou hodnotu. Když s = 1, pak na levé straně dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. A protože nekonečno na levé straně rovnice se nemůže rovnat konečnému číslu napravo, musí být prvočísel nekonečně mnoho.

Rozšíření definičního oboru[editovat | editovat zdroj]

Nekonečná řada může definovat funkci jen na části jejího definičního oboru a právě tohle platí i pro funkci zeta. Funkce zeta má totiž konečné hodnoty pro všechny argumenty s ≠ 1.
Nyní se podívejme na základní myšlenku, jak zjistit hodnoty funkce pro s < 1. Nejdříve zavedeme novou funkci

Tato nekonečná řada se nazývá alternující řada a konverguje pro s > 0.
Řadu můžeme zapsat jako

minus

kde první závorka je vlastně . Vytknutím z druhého výrazu a úpravou dostaneme

Vyjádřením dojdeme ke vztahu

ze kterého dokážeme vypočítat hodnoty pro s mezi 0 a 1. V 0 je hodnota funkce zeta rovna -1/2.

Nyní se podívejme, jak je to s argumenty funkce zeta, které jsou menší než 0. V Riemannově článku z roku 1859 je důkaz formule, kterou poprvé navrhl Euler v roce 1749 a která vyjadřuje pomocí :

Tímto vztahem vypočítáme hodnoty funkce zeta pro záporná celá čísla s.
Abychom však mohli spočítat hodnoty funkce zeta pro všechna reálná s < 0, musíme použít následující vzorec

který dokázal Riemann v roce 1859. Velké písmeno řecké abecedy v této rovnici je funkce gamma, která je rozšířením faktoriálu do reálných a komplexních čísel.

Nulové body[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článcích Riemannova hypotéza a Věta o kritické přímce.

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která . Lze je rozdělit na

  • triviální – všechna sudá záporná celá čísla
  • netriviální – ostatní, leží v tzv. kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na tzv. kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SANDIFER, C. E.. The Early Mathematics of Leonhard Euler. [s.l.] : The Mathematical Association of America, 2007.  

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • DERBYSHIRE, John. Posedlost prvočísly. Praha : Academia, 2007.  
  • DEVLIN, Keith. Problémy pro třetí tisíciletí. Praha : Argo, Dokořán, 2005.