Basilejský problém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Basilejský problém je otázka, zda a k jakému součtu konverguje řada převrácených hodnot čtverců přirozených čísel

Roku 1644 tento problém předložil italský matematik Pietro Mengoli. Jako basilejský problém se označuje proto, že na něm pracovali basilejští matematici Jacob Bernoulli, který jej nedokázal plně vyřešit, i když dokázal, že řada konverguje, a Leonhard Euler, žák Jacobova bratra Johanna, který roku 1735 otázku zodpověděl textem De Summis Serierum Reciprocarum a ukázal, že součet řady se rovná .

Euler uvažoval Taylorovu řadu funkce :

Funkci sinus lze rozložit na nekonečný součin a porovnat s uvedenou Taylorovou řadou. Tím vznikne rovnice

Po roznásobení součinu na levé straně, uvažování pouze členů obsahujících a a jejich porovnání s odpovídajícími členy Taylorovy řady na pravé straně vznikne rovnost:

ze které po vykrácení plyne

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • C. Edward Sandifer: Euler's solution of the Basel problem—the longer story. Euler at 300, 105–117, MAA Spectrum, Math. Assoc. America, Washington, DC, 2007.
  • Downey, Lawrence / Ong, Boon W. / Sellers, James A.: Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 5, November 2008. P. 391–394