Fourierova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Ortogonální projekce funkce f z Hilbertova prostoru do nadroviny konečné dimenze n.

Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu spolu s definovaným skalárním součinem:

,

tvořících tzv. Hilbertův prostor, kde je doba periody průběhu funkce.

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi.

Ortogonální rozklad funkce[editovat | editovat zdroj]

Mějme lineární podprostor dimenze Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi :

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí a platí:

kde

a

kde jsou souřadnice vzhledem k ,

pak můžeme aproximovat funkci následující řadou:

kde

Fourierova řada v goniometrickém tvaru[editovat | editovat zdroj]

Množina tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

kde a kde .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru[editovat | editovat zdroj]

Z následujících vztahů:


a

dostaneme:

,

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce pomocí následující exponenciální řady:

kde je střední hodnota funkce .

Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:

lze zavést spojitou Fourierovu transformaci užitím limitních přechodů:

a naopak

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]