Fourierova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu periodického průběhu pomocí funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě řady z funkcí sinus a kosinus je rozklad vektoru do ortogonální báze. Lineárním prostorem je v tomto případě prostor (jistých) funkcí definovaných na intervalu a skalárním součinem je integrál:

S ohledem na tento skalární součin tvoří funkce

Ortogonální množinu a pro každou integrovatelnou funkci lze najít její souřadnice vůči uvažované ortogonální množině. Souřadnice odpovídající prvku je dána vztahem:

Jelikož tak funkci přiřazujeme její Fourierovu řadu:

Jehož koeficienty se zadávají vzorci:

,

.

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z lepší množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodu) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce f aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fourierov rad na slovenské Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]