Fourierova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu periodického průběhu pomocí funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě řady z funkcí sinus a kosinus je rozklad vektoru do ortogonální báze. Lineárním prostorem je v tomto případě prostor (jistých) funkcí definovaných na intervalu  [-\pi,\pi] a skalárním součinem je integrál:

 (f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)dt

S ohledem na tento skalární součin tvoří funkce

[-\pi,\pi]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt, \ \ \ n\in\mathbb{N}

Ortogonální množinu a pro každou integrovatelnou funkci  f:\ [-\pi,\pi]\to \mathbb{R} lze najít její souřadnice vůči uvažované ortogonální množině. Souřadnice odpovídající prvku  e je dána vztahem:

 f_e=\frac{(f,e)}{(e,e)} .

Jelikož  (1,1)=2\pi, (\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi tak funkci  f přiřazujeme její Fourierovu řadu:

 f(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}[ a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)],

Jehož koeficienty se zadávají vzorci:

a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{(kx)}dx, \ \ \ k=0,1,2,\dots ,

b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí  f a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z lepší množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce  f ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci tak její Fourierova řada má v každém bodě součet a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusi (v některém bodu) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce f aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fourierov rad na slovenské Wikipedii.