(ε, δ)-definice limity

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Pokud se bod x nachází v δ jednotkách kolem bodu c, pak se f(x) nachází v ε jednotkách kolem L.

kalkulu je (ε, δ)-definice limity („epsilondelta definice limity“) formalizace pojetí limit. Název vznikl podle Augustina-Louise Cauchyho, který sice nikdy neformuloval definici limity ve svém Cours d'Analyse, ale občas používal argumenty ve svých důkazech. Poprvé byla formalizována Bernardem Bolzanem v roce 1817 a definitivní moderní znění nakonec poskytl Karl Weierstrass.[1][2] Tato definice dělá následující neformální výrok rigorózním: závislý výraz f(x) se blíží hodnotě L, zatímco se proměnná x blíží hodnotě c, pokud f(x) může být libovolně blízko k L, když x je dostatečně blízko k c.

Historie[editovat | editovat zdroj]

I když již řekové zkoumali limitní procesy, jako je Babylónská metoda, nejspíš neměli žádný koncept podobný moderní limitě.[3] Potřeba tohoto konceptu se objevila v 17. století, kdy se Pierre de Fermat pokusil najít sklon tečny v bodě funkce jako třeba Použití nenulové, ale téměř nulové kvantity, značené Fermat provedl následující výpočet:

Klíčem k výše uvedenému výpočtu je, že ježto je nenulové, takže lze dělit, ale jelikož je zároveň blízko 0, je vlastně [4] Kvantity jako např. jsou nazývány infinitezimály. Problémem takového výpočtu bylo, že matematici tehdejší doby nebyli schopni důsledně definovat takovou hodnotu s vlastnostmi [5] i když bylo běžnou praxí „zanedbat“ infinitezimály s vyšší mocninou a zdálo se, že výsledky takových výpočtů jsou správné.

Tento problém se objevil později v letech 1600 v ústředí vývoje kalkulu, protože postupy, jako byl ten Fermatův, jsou důležité pro výpočet derivací. Isaac Newton vyvinul první infinitezimální kalkulus pomocí tzv. fluxionů. Vyvinul je v souvislosti s myšlenkou „nekonečně krátkého časového okamžiku...“[6] Později Newton nicméně fluxiony odmítl ve prospěch teorie poměrů, která je blízká moderní definici limity. Newton si byl navíc vědom, že limita poměru zmenšujících se veličin ve skutečnosti sama poměrem nebyla, jak napsal:

Tyto poměry ... ve skutečnosti nejsou poměry konečných veličin, ale limit ... kterým se můžou přiblížit tak těsně, že jejich rozdíl je menší než jakékoli dané množství...

Newton navíc příležitostně limity vysvětlil podobným způsobem, jako je epsilon–delta definice.[7] Gottfried Wilhelm Leibniz vyvinul vlastní infinitezimální počet a snažil se jej upevnit na rigorózním základu, ale stále tím některé matematiky a filozofy neuspokojil.[8]

Augustin-Louis Cauchy podal definici limity pomocí primitivnějšího konceptu, tzv. variabilního množství. Nikdy limitu nedefinoval pomocí epsilon–delta definice (Grabiner 1981). Některé z Cauchyho důkazů obsahují známky epsilon–delta metody. Zda jeho přístup může či nemůže být považován za předzvěst Weierstrasse, je předmětem sporů. Grabiner si myslí, že ano, zatímco Schubring (2005) nesouhlasí. Nakane dospívá k závěru, že Cauchy i Weierstrass dali stejný název různým pojetím limity.[9]

Nakonec přichází Bolzano a Weierstrass, kteří jsou považováni za první, kteří dali kalkulu pevný základ v podobě moderní definice limity.[2] Potřeba odvolat se na nekonečně malé byla odstraněna[10] a Fermatův výpočet se změnil na výpočet následující limity:

Nelze však říci, že byla tato definice limity bez problémů, jelikož i když odstranila nutnost infinitezimál, vyžadovala konstrukci reálných čísel podle Richarda Dedekinda.[11] Také je nutno dodat, že infinitezimály mají také své místo v moderní matematice, neboť je byli později matematici schopni rigorózně definovat pomocí hyperreálných čísel nebo nadreálných čísel. Navíc je pomocí nich také možné vytvořit kalkulus a mají i další matematická použití.[12]

Neformální znění[editovat | editovat zdroj]

Dobrá intuitivní nebo zástupná definice je, že „funkce f se blíží k limitě L blízko a (symbolicky, ) pokud lze dostat f(x) libovolně blízko k L tak, že vyžadujeme, aby x bylo dostatečně blízko k, ale různé od, a.“[13]

Tím, že jsou dvě hodnoty blízko sebe (např. f(x) a L nebo x a a), myslíme, že vzdálenost mezi nimi je malá. Když jsou f(x), L, x, a a reálná čísla, vzdálenost mezi dvěma z nich je absolutní hodnota z jejich rozdílu. To znamená, že když říkáme, že f(x) je blízko k L, myslíme tím, že je malá. Když říkáme, že x a a jsou blízko, myslíme tím, že je malá.[14]

Když říkáme, že můžeme dostat f(x) libovolně blízko k L, myslíme tím, že pro všechny nenulové vzdálenosti můžeme vzdálenost mezi f(x) a L udělat menší než

Když říkáme, že můžeme dostat f(x) libovolně blízko k L s tím, že x musí být dostatečně blízko k, ale různé od, a, myslíme tím, že pro každou nenulovou vzdálenost existuje nějaká nenulová vzdálenost taková, že je-li vzdálenost x od a menší než pak vzdálenost mezi f(x) a L je menší než

Podstatou definice je, že pro jakoukoliv „výzvu“ pro dané f, a a L, se musí najít takové, že pokud pak z toho plyne, že Pokud lze najít takovou odpověď na jakoukoli výzvu, pak bylo dokázáno, že limita existuje.

Přesná definice a podobné výroky[editovat | editovat zdroj]

Přesná definice pro reálné funkce[editovat | editovat zdroj]

definice limity funkce je následující:

Nechť je reálná funkce definovaná na podmnožině reálných čísel. Nechť je mezní bod a nechť je reálné číslo. Pak říkáme, že

pokud pro každé existuje takové, že pro všechna pokud pak

Symbolicky:

Pokud nebo pak je podmínka, že je mezní bod, je automaticky splněna, protože každý uzavřený reálný interval a celá reálná osa jsou dokonalé množiny.

Přesná definice pro funkce mezi metrickými prostory[editovat | editovat zdroj]

Tuto definici lze zobecnit i na funkce, které jsou zobrazením mezi metrickými prostory. Tyto prostory nesou funkci zvanou metrika, která bere dva body v tomto prostoru a vrací reálné číslo, které představuje vzdálenost mezi nimi.[15] Zobecněná definice pak zní:[16]

Nechť je zobrazení z podmnožiny metrického prostoru s metrikou do metrického prostoru s metrikou Nechť je mezní bod a nechť je bod v 

Pak říkáme, že

pokud pro každé existuje takové, že pro všechna pokud pak

Jelikož je metrika na reálných číslech, lze dokázat, že tato definice zobecňuje první definici pro reálné funkce.[17]

Negace definice[editovat | editovat zdroj]

Negace této definice je následující:[18]

Nechť je zobrazení z podmnožiny metrického prostoru s metrikou do metrického prostoru s metrikou Nechť je mezní bod a nechť je bod v 

Pak říkáme, že

pokud existuje takové, že pro všechna existuje takové, že a

Říkáme, že neexistuje, pokud pro všechna

Pro negaci definice pro reálnou funkci definovanou na reálných číslech lze jednoduše dosadit

Přesná definice pro limitu v nevlastním bodě[editovat | editovat zdroj]

Přesná definice pro nekonečné limity je následující:

Nechť je zobrazení z podmnožiny metrického prostoru s metrikou do metrického prostoru s metrikou Nechť

Pak říkáme, že

pokud pro každé existuje reálné číslo takové, že existuje takové, že a že pokud a pak

Vypracované příklady[editovat | editovat zdroj]

Příklad 1[editovat | editovat zdroj]

Ukážeme, že

.

Nechť máme dané Musíme najít takové, že pokud pak

Jelikož sinus je shora omezený na 1 a zdola na -1, platí

Pokud tedy vezmeme pak pokud tak což dokončuje důkaz.

Příklad 2[editovat | editovat zdroj]

Dokažme tvrzení, že

pro libovolné reálné číslo .

Nechť máme dané Najdeme takové, že pokud pak

Začneme rozkladem na součin:

Všimněme si, že je činitel shora ohraničený takže za mez můžeme určit 1 a později pro vzít něco menšího.[19]

Inu předpokládejme, že Jelikož platí pro obecná reálná čísla a máme

Takže

A tedy podle trojúhelníkové nerovnosti:

Pokud tedy budeme dále předpokládat, že

pak

Nakonec tedy stanovíme

Takže pokud pak

Našli jsme tedy takové že pokud pak Ukázali jsme tedy, že

pro jakékoliv reálné číslo

Příklad 3[editovat | editovat zdroj]

Dokažme, že

Nejlépe je to vidět pomocí grafického znázornění limity, které se tím stává pevným základem pro důkaz. Podle formální definice výše je limitní výrok platný, právě když pokud omezíme na jednotek od nevyhnutelně tím také omezíme na jednotek od V tomto konkrétním případě to znamená, že tvrzení je pravdivé, právě když omezení na jednotek od 5 nevyhnutelně omezí

na jednotek od 12. Klíčem k odhalení této implikace je ukázat, jak jsou a k sobě navzájem vztaženy tak, že implikace platí. Matematicky chceme ukázat, že

Po zjednodušení, rozkladu na součin a dělení třemi na pravé straně implikace dostaneme

což okamžitě splňuje podmínku, pokud zvolíme

Tím je důkaz dokončen. Klíčem k důkazu spočívá v tom, zvolit mez pro a následně najít odpovídající mez pro které se v tomto případě lišily o činitel 3, který plyne ze sklonu 3 přímky

Spojitost[editovat | editovat zdroj]

Funkce f je spojitá na c, pokud je na c definovaná a její hodnota se na c rovná limitě f, když se x blíží c:

Pokud by byla podmínka z definice limity vynechána, pak by byl požadavek, že f(x) má limitu na c, stejný jako vyžadovat, aby bylo f(x) na c spojité.

f je spojitá na intervalu I, pokud je spojitá v každém bodě c náležícím I.

Srovnání s infinitezimální definicí[editovat | editovat zdroj]

Keisler dokázal, že hyperreálná definice limity snižuje kvantifikátorovou složitost o dva kvantifikátory.[20] A sice, že konverguje k limitě L, když se blíží k a, právě když pro každou infinitezimálu e je hodnota nekonečně blízko k L; viz mikrokontinuitu pro související definici spojitosti, v podstatě podané Cauchym. Učebnice infinitezimálního počtu založené na Robinsonově přístupu poskytují definice spojitosti, derivace a integrálu ve standardní formě pomocí infinitezimál. Jakmile byly pojmy jako kontinuita důkladně vysvětleny pomocí mikrokontinuity, přístup pomocí epsilon–delta je představen také. Karel Hrbáček tvrdí, že definice spojitosti, derivace a integrace v Robinsonově nestandardní analýze se musí opírat o ε–δ metodu za účelem ošetření i nestandardní vstupní hodnoty.[21] Błaszczyk a další tvrdí, že mikrokontinuita je užitečná v rozvoji jasné definice stejnoměrné spojitosti a považuje Hrbáčkovu kritiku za „pochybné naříkání“.[22] Hrbáček navrhuje alternativní nestandardní analýzu, která má (na rozdíl od Robinsona) mnoho „úrovní“ infinitezimál, takže limity na jedné úrovni mohou být definovány pomocí infinitezimál další úrovně.[23]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku (ε, δ)-definition of limit na anglické Wikipedii.

  1. GRABINER, Judith V. Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America, March 1983, roč. 90, čís. 3, s. 185–194. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2009-05-04. DOI:10.2307/2975545. 
  2. a b CAUCHY, A.-L. Résumé des leçons données à l’école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris: [s.n.], 1823. Dostupné v archivu pořízeném dne 2009-05-04. Kapitola Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée. 
  3. STILLWELL, John. Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag, 1989. ISBN 978-1-4899-0007-4. S. 38–39. 
  4. STILLWELL, John. Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag, 1989. ISBN 978-1-4899-0007-4. S. 104. 
  5. STILLWELL, John. Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag, 1989. ISBN 978-1-4899-0007-4. S. 106. 
  6. BUCKLEY, Benjamin Lee. The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. [s.l.]: [s.n.], 2012. ISBN 9780983700487. S. 31. 
  7. POURCIAU, B. Newton and the Notion of Limit. Historia Mathematica. 2001, roč. 28, čís. 1. DOI:10.1006/hmat.2000.2301. 
  8. BUCKLEY, Benjamin Lee. The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. [s.l.]: [s.n.], 2012. ISBN 9780983700487. S. 32. 
  9. Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ε−δ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.
  10. BUCKLEY, Benjamin Lee. The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. [s.l.]: [s.n.], 2012. ISBN 9780983700487. S. 33. 
  11. BUCKLEY, Benjamin Lee. The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. [s.l.]: [s.n.], 2012. ISBN 9780983700487. S. 32–35. 
  12. TAO, Terence. Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4695-7. S. 95–110. 
  13. SPIVAK, Michael. Calculus. Houston, Tex.: Publish or Perish, 2008. Dostupné online. ISBN 978-0914098911. S. 90. 
  14. SPIVAK, Michael. Calculus. Houston, Tex.: Publish or Perish, 2008. Dostupné online. ISBN 978-0914098911. S. 96. 
  15. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. Dostupné online. ISBN 978-0070542358. S. 30. 
  16. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. Dostupné online. ISBN 978-0070542358. S. 83. 
  17. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. Dostupné online. ISBN 978-0070542358. S. 84. 
  18. SPIVAK, Michael. Calculus. Houston, Tex.: Publish or Perish, 2008. Dostupné online. ISBN 978-0914098911. S. 97. 
  19. SPIVAK, Michael. Calculus. Houston, Tex.: Publish or Perish, 2008. Dostupné online. ISBN 978-0914098911. S. 95. 
  20. KEISLER, H. Jerome. Andrzej Mostowski and foundational studies. [s.l.]: IOS, Amsterdam, 2008. Kapitola Quantifiers in limits, s. 151–170. 
  21. HRBACEK, K. The Strength of Nonstandard Analysis. [s.l.]: Springer, 2007. Kapitola Stratified Analysis?. 
  22. BŁASZCZYK, Piotr; KATZ, Mikhail; SHERRY, David. Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking. Foundations of Science. 2012. DOI:10.1007/s10699-012-9285-8. arXiv:1202.4153. 
  23. HRBACEK, K. Relative set theory: Internal view. Journal of Logic and Analysis. 2009, roč. 1. Dostupné online. (anglicky) 

Související články[editovat | editovat zdroj]