Biangulární souřadnice

Biangulární souřadnice jsou soustava souřadnic v rovině určená úsečkou, kde poloha bodu je určena dvěma úhly. Tento typ souřadnic jako první zkoumal Lazare Nicholas Marguerite Carnot, který své výsledky publikoval v roce 1803.

Poloha bodu

V rovině je dána úsečka ${\overline {AB}}\,\!$. Pak poloha každého bodu $C$ v této rovině (s výjimkou bodů ležících na přímce ${\overline {AB}}\,\!$) je jednoznačně dána úhly $\angle CAB\,\!$ a $\angle CBA\,\!$.

Polohu bodů na přímce ${\overline {AB}}\,\!$ nelze určit, jelikož úhly $\angle CAB\,\!$ a $\angle CBA\,\!$ pro různé body jsou stejné - nulové nebo přímé (180°).

Zaměření bodu v biangulárních souřadnicích

Máme bod, zvaný $C$, v rovině a chceme jej vyjádřit v této soustavě.

Definice bodu c úhlovými souřadnicemi α a β v rovině.

Zvolme v rovině úsečku $AB$, jejíž délka je jednotková. Oba krajní body této úsečky spojme s bodem $C$.

Najdeme úhly $\alpha$ a $\beta$, odpovídajíci úhlům $CAB$ a $CBA$ v tomto pořadí.

Úsečka $AB$ a úhly $\alpha$ a $\beta$ tak určují polohu bodu v nové soustavě souřadnic a úhly $\alpha$ a $\beta$ jsou těmito souřadnicemi.

Převod na souřadnice kartézské

$x={\frac {c\ \operatorname {tg\,} \beta }{\operatorname {tg\,} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}$

$y={\frac {c\,\operatorname {tg\,} \alpha \,\operatorname {tg\,} \beta }{\operatorname {tg\,} \alpha +\operatorname {tg\,} \beta }}$

a pro zpětný převod souřadnic x-y na α - β použijeme rovnice:

$\alpha =\operatorname {arctg2} \left({\frac {y}{x}}\right),$

$\beta =\operatorname {arctg2} \left({\frac {y}{c-x}}\right),$

kde arctg2 je zobecnění funkce arkus tangens často užívané při inverzích vztahů v rovině.

Rovnice kuželoseček v úhlových souřadnicích

V úhlových souřadnicích se dá jednoduše vyjádřit rovnice jistých kuželoseček v rovině.

Rovnice elipsy: $\operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+1,5$

Rovnice paraboly: $\operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+2$

Rovnice hyperboly: $\operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+3$

• 
  Elipsa, definovaná úhlovými souřadnicemi v rovině
• 
  Parabola, definovaná úhlovými souřadnicemi v rovině
• 
  Hyperbola, definovaná úhlovými souřadnicemi v rovině