Vlnková transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Spojitá vlnková transformace signálu s náhlou změnou frekvence. Byla použita vlnka symlet s 5 nulovými momenty.

Vlnková transformace (anglicky wavelet transform, WT) je integrální transformace, která umožňuje získat časově-frekvenční popis signálu. Lze na ni nahlížet také jako na prostředek k dekorelaci dat, rozkladu signálu na nezávislé stavební kameny.

Její přirozenou aplikací je zjištění polohy a délky trvání daného jevu. Dále se uplatňuje například při detekci nespojitostí signálu a jeho derivací, identifikaci okamžitých frekvencí, odstranění šumu, extrakci příznaků nebo kompresi signálů.

Mezi oblasti její aplikace patří například analýza tekutin (turbulentní toky, atmosférické děje), analýza vibrací (detekce závad strojů), nedestruktivní testování (detekce prasklin), lékařství (detekce QRS komplexů v signálech EKG, evokovaných potenciálů v EEG, analýza korelací v sekvencích DNA), ekonomika (analýza burzovních indexů), geofyzika (analýza seismických signálů), astronomie, studium plazmatu a mnohé další.[1]

Definice spojité transformace[editovat | editovat zdroj]

Vlnková transformace spojitého signálu f je definována jako

\begin{align}
	\left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](a,b)
			&= \langle f, \psi_{a,b} \rangle \\
			&= \int_{-\infty}^{+\infty} \! f(t) \, \psi^{\ast}_{a,b}(t) \, \mathrm{d}t \\
			&= \int_{-\infty}^{+\infty} \! f(t) \, \frac{1}{\sqrt{a}} \psi^{\ast}\left({{t-b}\over{a}}\right) \, \mathrm{d}t \\
			&= f * \psi_{a}^{\ast}(b) \\
			&= \frac{1}{2\pi} \langle \hat{f}, \hat{\psi}_{a,b} \rangle ,
\end{align}

kde

Ze vztahů je patrné, že vlnkovou transformaci je možno chápat jako skalární součiny s bázemi \psi_{a,b}\,, jako integrální transformaci s jádrem \psi^{\ast}_{a,b}\, nebo jako konvoluce s funkcemi \psi^{\ast}_{a}\,. Je také možný výpočet ve frekvenční oblasti.

Transformace je vysoce redundantní.

Škálogram[editovat | editovat zdroj]

Polorovina, kterou transformace tvoří (parametry a a b udávají polorovinu), se označuje jako časově-měřítková (time-scale, TS) polorovina.

Škálogram (scalogram) se nazývá graf, ve kterém je zobrazena hustota (množství) energie na daném měřítku a a pozici b vlnky (v Heisenbergově okně vlnky \psi_{a,b}).

E(a,b) = \left|\left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](a,b)\right|^2

Rozdíl proti spektrogramu u krátkodobé Fourierovy transformace spočívá v obrácené orientaci osy a, resp. f (škálogram je vzhůru nohama). Přesněji řečeno, frekvence je nepřímo úměrná měřítku.

f \varpropto \frac{1}{a}

Pro účely srovnání se spektrogramem je možné škálogram převést ze závislosti na měřítku na závislost na frekvenci. K tomu lze využít např. střední frekvenci f_c vlnky \hat{\psi}.

f = \frac{f_c}{a}

Škálogramy se často vykreslují s logaritmickou osou měřítka a.

Inverzní transformace[editovat | editovat zdroj]

Její inverzní forma se definuje jako

\begin{align}
	f(t)
		&= \frac{1}{C_\psi} \int_{0}^{+_\infty} \!\!\! \int_{-\infty}^{+_\infty} \! [\operatorname{W}_\psi\,f](a,b) \, \psi_{a,b}(t) \, \mathrm{d}b \frac{\mathrm{d}a}{a^2} \\
		&= \frac{1}{C_\psi} \int_{0}^{+_\infty} \!\!\! \int_{-\infty}^{+_\infty} \! [\operatorname{W}_\psi\,f](a,b) \, \frac{1}{\sqrt{a}} \psi\left({\frac{t-b}{a}}\right) \, \mathrm{d}b \frac{\mathrm{d}a}{a^2}
\end{align},

kde

Diskrétní transformace[editovat | editovat zdroj]

V případě, že koeficienty

a = {a_{0}}^{m}, b = {a_{0}}^{m} n b_0,

kde

  • a_0>1, b_0>0\, a
  • m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z} jsou celočíselné konstanty,

označuje se jádro transformace jako vlnkové rámce (wavelet frames, WF). Transformace tedy již není spojitá ale diskrétní. Jinými slovy je diskretizována polorovina (a,b). Transformace je stále vysoce redundantní.

O vlnkových řadách (wavelet series, WS; analogicky k Fourierovým řadám) se hovoří v případě, že se z transformace odstraní nadbytečná informace. Jádro transformace pak tvoří bázi.

Nejčastěji se používá tzv. dyadické vzorkování a_0 = 2, b_0 = 1, tedy

a = 2^m, b = n 2^m\,.

Dyadická vlnková transformace má tvar

\left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](m,n) = \frac{1}{\sqrt{2^m}} \int_{-\infty}^{+\infty} \! {f(t) \psi^\ast\left(2^{-m}t-n\right)} \, \mathrm{d}t \,,

kde

  • m značí kmitočtové měřítko,
  • n časové posunutí.

Dyadickou transformaci je možné[2] přepsat jako

\left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](m,n) = \int_{-\infty}^{+\infty} \! {f(t) h_{m}\left(2^{m}n-t\right)} \, \mathrm{d}t \,,

kde

Analogicky je definována dyadická vlnková transformace s diskrétním časem (diskrétního signálu) jako

y_{m}[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k]h_{m}[2^{m}n-k].

Pro stupeň rozkladu m=1 můžeme psát pro g = h_1:

y_{\mathrm{high}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {f[k] g[2 n - k]} a
y_{\mathrm{low}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {f[k] h[2 n - k]} , kde h je zrcadlový filtr k g (reprezentuje vlastně všechny ostatní vlnky). Filtr h odpovídá měřítkové funkci {\phi_{m}}^\ast pro dané m.

Tento krok tvoří jeden stupeň diskrétní vlnkové transformace podle Mallatova schématu.

Princip použití[editovat | editovat zdroj]

Obecně vzato, vlnky jsou matematicky konstruovány, aby měly vhodné vlastnosti například pro zpracování signálů. Vlnková transformace je v podstatě konvoluce určité vlnky (nebo jejich skupiny) s analyzovaným signálem.

Představme si například vlnku, která má frekvenci tónu střední C a krátké trvání odpovídající osminové notě. Provedeme-li v pravidelných intervalech konvoluci takovéto vlnky se signálem – nahrávkou písně – pak nám výsledky této konvoluce napoví, kdy byla nota „osminové střední C“ v nahrávce použita.

Matematicky vzato, k vysoké korelaci vlnky se signálem (vysokému konvolučnímu koeficientu) dojde v těch místech (intervalech), kde signál obsahuje informaci o podobné frekvenci, tedy tam, kde je námi zvolené vlnce nejpodobnější. Tento koncept je jádrem mnoha aplikací vlnkové transformace.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ADDISON, Paul S.. The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Introductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicine and Finance. New York : Taylor & Francis, 2002. xiii, 353 s. ISBN 9780750306928. (anglicky) 
  2. KOZUMPLÍK, Jiří. Vlnkové transformace a jejich využití pro filtraci signálů EKG. Brno : VUTIUM, 2005. 81 s. ISSN: 1213-418X. Dostupné online. ISBN 80-214-. Kapitola 1.1 Vlnkové transformace spojitého signálu, s. 5, 6.  

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • MALLAT, Stéphane. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. With contributions from Gabriel Peyré. 3. vyd. [s.l.] : Academic Press, c2009. xx, 805 s. ISBN 9780123743701. (anglicky) 
  • ADDISON, Paul S.. The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Introductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicine and Finance. New York : Taylor & Francis, 2002. xiii, 353 s. ISBN 9780750306928. (anglicky) 
  • DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61) ISBN 0898712742. (anglicky)