Krátkodobá Fourierova transformace

Ukázka spektrogramu

Jako krátkodobá Fourierova transformace (short-time Fourier transform, STFT) se označuje Fourierova transformace aplikovaná na analyzovanou funkci postupně po krátkých úsecích, které vybírá pomocí reálného symetrického okna. Tím řeší problém souběžného určení času i frekvence, na kterých je rozmístěna energie signálu (funkce). Tato transformace tedy provádí časově-frekvenční analýzu.

STFT analyzuje signál po krátkých úsecích, které vybírá pomocí jeho součinu s reálným symetrickým oknem $g$. Jádro transformace tvoří

$g_{u,\omega}(t) = e^{i \omega t} \, g(t-u)$.

Dopředná transformace je definována jako

$S\,f(u,\omega) = \langle f, g_{u,\omega} \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \! f(t) \, g(t-u) \, e^{-i \omega t} \, \mathrm{d}t$.

Pro určení energie se používá tzv. spektrogram

$\left| S\,f(u,\omega) \right| ^2$.

Speciálním případem STFT je Gaborova transformace, která používá okno ve tvaru Gaussovy funkce

$g(t) = \sqrt{\alpha/\pi} e^{-\alpha t^2} \quad \alpha \in \mathbb{R}^+$.

Z definice je zřejmé, že změna rozlišení ve frekvencích vyžaduje přepočítání celé transformace s jinou velikostí okna. Tento problém se snaží odstranit vlnková transformace.