Posloupnost
Jako posloupnost se v matematice označuje uspořádaný (konečný či nekonečný) soubor matematických objektů, očíslovaných obvykle přirozenými čísly.
Posloupnost lze definovat jako zobrazení z množiny přirozených čísel do nějaké celkem libovolné množiny .
Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnosti, ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech anebo např. trojúhelníky či obecné množiny. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu přiřazuje číslo , přičemž závisí pouze na hodnotě . Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu přiřazuje funkci , přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle , ale také na parametrech funkce (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).
Posloupnost značíme obvykle (podobně jako uspořádanou n-tici) , nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze . Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.
Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti , např. odpovídá posloupnosti
Posloupnost může být také zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:
.
Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Vlastnosti
Posloupnost je
- neklesající, pokud pro všechna i platí ,
- nerostoucí, pokud pro všechna i platí ,
- klesající, pokud pro všechna i platí ,
- rostoucí, pokud pro všechna i platí ,
- zdola omezená v množině A, pokud existuje takové , že pro všechna i platí ,
- shora omezená v množině A, pokud existuje takové , že pro všechna i platí .
- čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost je rostoucí a je klesající[1]
- bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti[2]
Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.
Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.
Jestliže se v libovolně malém -okolí bodu d, tzn. v intervalu , nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti , pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti .
Limita
Říkáme, že posloupnost
- konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. konverguje k 0),
- diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. diverguje k ), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. ).
Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.
Vybraná posloupnost
Je-li posloupnost (obecně reálných) čísel a rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z (jinými slovy, z vybereme některé členy, např. všechny liché).
Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.
Odkazy
Reference
- ↑ MAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě [online]. United Computer Wizards, 2011-11-21 [cit. 2015-10-21]. S. 10. Dostupné online.
- ↑ MAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě, S. 11.