Nekonečný součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Nekonečný součin je pojem matematické analýzy. Pro nekonečnou posloupnost a1, a2, a3,… je nekonečný součin


\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots

roven limitě posloupnosti částečných součinů a1a2...an kde n roste k nekonečnu. Pokud taková limita existuje a je nenulová, pak se o součinu říká, že konverguje, a jeho hodnota je rovna hodnotě limity, jinak se o součinu říká, že diverguje.

Pokud součin konverguje, musí být limita posloupnosti an rovna jedné. V takovém případě je logaritmus log an definován pro všechna an a platí:

\log \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n

což umožňuje vyšetřovat konvergenci nekonečných součinů pomocí nástrojů pro vyšetřování konvergence nekonečných řad.