Linearizace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Linearizace (někdy také lineární aproximace) je nahrazení části křivky (nebo průběhu funkce) přímkou. Jinak řečeno, jedná se o aproximaci lineární funkcí (jinak také polynomem prvního řádu).

V případě funkce více proměnných se jedná nahrazení části obecné plochy rovinou.

V diferenciálním počtu představuje linearizace nahrazení diferenciální rovnice v určitém rozsahu hodnot lineární diferenciální rovnicí.

Důvodem užití linearizace obvykle bývá zjednodušení navazujících výpočtů.

Způsoby linearizace[editovat | editovat zdroj]

Metoda provedení linearizace závisí na důvodu jejího použití.

  • Pokud je cílem zjištění přibližné hodnoty funkce v blízkém okolí známého bodu, provádí se obvykle nahrazení funkce její tečnou ve známém bodu. (K určení rovnice tečny se užívá derivace.)

Příklad: Přibližný výpočet e0,01[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je přibližně určit hodnotu funkce f(x) = e^x (e představuje Eulerovo číslo, základ přirozeného logaritmu) pro x = 0,01, přičemž je známá hodnota funkce v bodu x_0 = 0 (f(x_0) = f(0) = e^0 = 1) a dále je známá první derivace (f'(x) = e^x), která je v bodě x_0 rovna f'(x_0) = e^0 = 1.

Funkci f(x) nahradíme v blízkém okolí bodu x_0 tečnou, jejíž směrnice je určena první derivací. Rovnice tečny bude následující. (Viz také Taylorův polynom.)

y(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)
y(x) = 1 + 1\cdot(x-0) = 1 + x

Odtud již není problém vypočítat místo hodnoty f(x) pouze přibližnou hodnotu z rovnice tečny y(x).

f(0,01) \approx y(0,01) = 1 + 0,01 = 1,01

Pokud vypočtenou hodnotu 1,01 porovnáme s přesněji vypočtenou hodnotou e^{0,01} \doteq 1,010050167, vidíme, že chyba provedeného přibližného odhadu je velmi nízká. (Viz také absolutní chyba a relativní chyba.)

Související články[editovat | editovat zdroj]