Linearizace

Linearizace (někdy také lineární aproximace) je nahrazení části křivky (nebo průběhu funkce) přímkou. Jinak řečeno, jedná se o aproximaci lineární funkcí (jinak také polynomem prvního řádu).

V případě funkce více proměnných se jedná nahrazení části obecné plochy rovinou.

V diferenciálním počtu představuje linearizace nahrazení diferenciální rovnice v určitém rozsahu hodnot lineární diferenciální rovnicí.

Důvodem užití linearizace obvykle bývá zjednodušení navazujících výpočtů.

Způsoby linearizace

Metoda provedení linearizace závisí na důvodu jejího použití.

• Pokud je cílem zjištění přibližné hodnoty funkce v blízkém okolí známého bodu, provádí se obvykle nahrazení funkce její tečnou ve známém bodu. (K určení rovnice tečny se užívá derivace.)

• Pokud je cílem stanovení přibližné rovnice z experimentálně získaných hodnot, používá se obvykle lineární regrese, která je jednou z aplikací metody nejmenších čtverců.

Příklad: Přibližný výpočet e^0,01

Úkolem je přibližně určit hodnotu funkce $f(x) = e^x$ ($e$ představuje Eulerovo číslo, základ přirozeného logaritmu) pro $x = 0,01$, přičemž je známá hodnota funkce v bodu $x_0 = 0$ ($f(x_0) = f(0) = e^0 = 1$) a dále je známá první derivace ($f'(x) = e^x$), která je v bodě $x_0$ rovna $f'(x_0) = e^0 = 1$.

Funkci $f(x)$ nahradíme v blízkém okolí bodu $x_0$ tečnou, jejíž směrnice je určena první derivací. Rovnice tečny bude následující. (Viz také Taylorův polynom.)

$y(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)$

$y(x) = 1 + 1\cdot(x-0) = 1 + x$

Odtud již není problém vypočítat místo hodnoty $f(x)$ pouze přibližnou hodnotu z rovnice tečny $y(x)$.

$f(0,01) \approx y(0,01) = 1 + 0,01 = 1,01$

Pokud vypočtenou hodnotu 1,01 porovnáme s přesněji vypočtenou hodnotou $e^{0,01} \doteq 1,010050167$, vidíme, že chyba provedeného přibližného odhadu je velmi nízká. (Viz také absolutní chyba a relativní chyba.)

Související články

• Lineární funkce
• Lineární regrese