Taylorova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek nemá zdroje, a není proto možné obsah ověřit.
Pomozte Wikipedii tím, že k uvedeným tvrzením patřičné zdroje naleznete a vložíte do článku.

Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.

Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj.

Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.

Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.

Obsah

1 Definice
- 1.1 Taylorova věta
- 1.2 Taylorova řada funkce více proměnných
2 Maclaurinova řada
3 Příklady Taylorova rozvoje
4 Související články
5 Literatura
6 Externí odkazy

[editovat] Definice

V případě existence všech derivací funkce f v bodě a lze Taylorovu řadu zapsat jako

$f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + ... = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k}$

Má-li funkce f v bodě a derivace až do řádu n, pak Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě a je polynom:

$T_n = f(a) + \frac {f^\prime(a)} {1!} (x-a) + \frac {f^{\prime\prime}(a)} {2!} (x-a)^2 + \ldots + \frac {f^{(n)}(a)} {n!} (x-a)^n = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(a)} {k!} (x - a)^k$ ,

kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. $f (0) = f$ .

Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého n všechny vyšší derivace nulové.

[editovat] Taylorova věta

Rozvoj funkce $f (x)$ , která má v okolí bodu $a$ derivace do $(n + 1)$ -ního řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu a vyjádřit jako

$f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}{(x - a)}^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x - a)}^n + R_{n+1}(x)$ ,

kde zbytek $R n + 1$ lze vyjádřit některým z následujících tvarů

$R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ pro $ζ$ ležící mezi body $x, x 0$ (tzv. Lagrangeův tvar zbytku)
$R_{n+1}(x) = \frac{{(x-a)}^{n+1}}{n!}{(1-\Theta)}^n f^{(n+1)}(a+\Theta(x-a))$ pro $0 < Θ < 1$ (tzv. Cauchyův tvar zbytku)

Taylorova řada funkce $f (x)$ konverguje v bodě x k funkční hodnotě $f (x)$ právě když

$\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$

[editovat] Taylorova řada funkce více proměnných

Pro funkci $f (x 1, x 2,..., x n)$ lze v okolí bodu $A = [a 1, a 2,..., a n]$ vyjádřit Taylorovu větu vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako

$f(x_1,x_2,...,x_n) = f(a_1,a_2,...,a_n) + \frac{\mathrm{d}f(a_1,a_2,...,a_n)}{1!} + \frac{\mathrm{d}^2 f(a_1,a_2,...,a_n)}{2!} + ... + \frac{\mathrm{d}^n f(a_1,a_2,...,a_n)}{n!} + R_{n+1}$ ,

kde funkci $R n + 1$ , která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

$R_{n+1} = \frac{\mathrm{d}^{n+1} f(a_1+\Theta (x_1 - a_1),a_2+\Theta (x_2 - a_2),...,a_n + \Theta (x_n - a_n)}{(n+1)!}$

pro $\Theta \in (0,1)$ .

[editovat] Maclaurinova řada

Pro $a = 0$ přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy

$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

[editovat] Příklady Taylorova rozvoje

$\mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)$
Přibližnou hodnotu funkce $e x$ v blízkosti bodu $x = 0$ určíme tak, že se omezíme pouze na n prvních derivací Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom $\textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.$
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)$
${(1 + x)}^r = 1 + {r \choose 1}x + {r \choose 2}x^2 + {r \choose 3}x^3 + ... = \sum_{n=0}^\infty {r \choose n}x^n \; \mbox{ pro } r \in \mathbb{R}, x \in (-\infty,\infty)$
$\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - ... = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1} \frac{x^n}{n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1\rangle$
$a^x = 1 + \frac{x \ln a}{1!} + \frac{x^2 \ln^2 a}{2!} + \frac{x^3 \ln^3 a}{3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(x \ln a)}^n}{n!} \; \mbox{ pro } a>0, x \in (-\infty,\infty)$
$\ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + ...\right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)$
$\operatorname{tg}x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + ... \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
$\operatorname{cotg}x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - ... \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)$
$\operatorname{arcsin}x = x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + ... \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)$
$\operatorname{arccos}x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + ... \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)$
$\operatorname{arctg}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ... = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in <-1,1>$
$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)$
$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)$

[editovat] Související články

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
ČVUT, Mgr.Milan Krbálek,Ph.D. : Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání. ISBN 978-80-01-04189-5

[editovat] Externí odkazy

Ukázka aproximace kosinu - graf

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Taylorova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Definice

[editovat] Taylorova věta

[editovat] Taylorova řada funkce více proměnných

[editovat] Maclaurinova řada

[editovat] Příklady Taylorova rozvoje

[editovat] Související články

[editovat] Literatura

[editovat] Externí odkazy

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje

V jiných jazycích