Elektrický potenciál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

\varphi = \frac{W}{Q},

kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.


Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0,

kde \mathbf{r} je polohový vektor bodu prostoru a \varphi_0 je Integrál, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \varphi_0 = 0.


Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje \rho lze vyjádřit vztahem

\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}V,

kde V je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje \rho nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.


Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}S,

kde \sigma je plošná hustota elektrického náboje.


Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}l,

kde \tau je lineární hustota elektrického náboje.

Poissonova rovnice[editovat | editovat zdroj]

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme

\operatorname{div}\mathbf{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor \Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}, lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice

\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.

Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. \rho=0, zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova

\Delta\varphi = 0

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy n bodových nábojů Q_1Q_n, jejichž polohové vektory jsou \mathbf{r}_1\mathbf{r}_n.

\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|} + \varphi_0

Potenciál jednoho z bodových nábojů Q_i ze soustavy nábojů Q_1Q_n vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\mathbf{r})

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. \varphi_0=0, potom lze podle předchozího vztahu psát

\varphi(\mathbf{r}) = -\int_\infty^\mathbf{r} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.


Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. \varphi=\mbox{konst}, se nazývá ekvipotenciální plocha.


Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu \varphi=\mbox{konst}, tzn.

\mathrm{d}\varphi = \frac{\part\varphi}{\part x}\mathrm{d}x + \frac{\part\varphi}{\part y}\mathrm{d}y + \frac{\part\varphi}{\part z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 0,

kde \mathrm{d}\mathbf{r} leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory \mathbf{E} a \mathrm{d}\mathbf{r} jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. \mathbf{E} je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Související články[editovat | editovat zdroj]