Přeskočit na obsah

Parabola (matematika): Porovnání verzí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Verze 3566964 uživatele 66.68.54.222 (diskuse) zrušena - spam
Řádek 180: Řádek 180:


== Externí odkaz ==
== Externí odkaz ==
* [http://maths.cz/clanky/analyticka-geometrie-parabola.html Parabola na Matematice pro každého]
* [http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html Parabola v encyklopedii MathWorld] (anglicky)
* [http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html Parabola v encyklopedii MathWorld] (anglicky)



Verze z 30. 1. 2009, 23:23

Parabola

Parabola je druh kuželosečky, rovinné křivky druhého stupně. Parabola je množina těch bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky (tzv. řídicí přímka nebo také direktrix) jako od daného bodu (tzv. ohnisko).

Vlastnosti, vyjádření

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou si podobné. Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Parabola je osově symetrická. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne těleso označované jako (rotační) paraboloid.

Parabola je kruhovou inverzí kardiody.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou nebo .

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis paraboly:

Parabola v kartezském souřadnicovém systému
Parabola v kartezském souřadnicovém systému

V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, n
F – ohnisko paraboly
d – řídicí přímka
o – osa paraboly
|DF| = p – velikost parametru,

X[x, y] – libovolný bod náležící parabole


Kanonický tvar rovnice

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou a vrchol ) v kartézských souřadnicích je

Pro je parabola otevřená doprava a pro je parabola otevřená doleva. Pro dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

a řídicí přímka je určena rovnicí


Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

Pro je parabola otevřená nahoru a pro je otevřená dolů.

Rovnice kuželosečky

Jestliže v rovnici kuželosečky položíme a , pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ), která má řídicí přímku

ohnisko má souřadnice

a souřadnice vrcholu jsou

Parametr má velikost


Podobně v případě a dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme


Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel určený vztahem

Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístění
  • Osa paraboly rovnoběžná s osou mající minimum(bod V) na ose .
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy x
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy x
Vrcholová rovnice:
Parametrické rovnice:

Obecná rovnice:
Rovnice řídicí přímky:
Rovnice tečny v bodě :

Osa paraboly rovnoběžná s osou mající maximum(bod V) na ose .

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozevirající se do záporné části osy x
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozevirající se do záporné části osy x
Vrcholová rovnice:
Parametrické rovnice:

Obecná rovnice:
Rovnice řídicí přímky:
Rovnice tečny v bodě :
  • Osa paraboly rovnoběžná s osou mající minimum. Konvexní parabola.
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy y
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy y
Vrcholová rovnice:
Parametrické rovnice:

Obecná rovnice:
Rovnice řídicí přímky:
Rovnice tečny v bodě :
  • Osa paraboly rovnoběžná s osou mající maximum. Konkávní parabola.
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do záporné části osy y
Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do záporné části osy y
Vrcholová rovnice:
Parametrické rovnice:

Obecná rovnice:
Rovnice řídicí přímky:
Rovnice tečny v bodě :
Převedení obecné rovnice na vrcholovou

Uspořádáme členy v rovnici.

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly.
Jedná se o parabolu, jejíž osa je rovnoběžná se záporným směrem osy .
, , , , d:

Vzájemná poloha paraboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic paraboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která má řešení - přímka je sečnou paraboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna (žádný společný bod). Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant je:

  • D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
  • D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
  • D < 0 žádné řešení - přímka není sečna
Vzájemná poloha paraboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

  • výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
  • výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější oblasti paraboly
  • výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní oblasti paraboly

Polární souřadnicový systém

Pro pararabolu s ohniskem v počátku souřadnicového systému a s vrcholem v záporné části hlavní osy x, platí rovnice:

kde je polovina tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku . U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.


Jestliže v počátku souřadnicové soustavy leží vrchol paraboly a polární osa splývá s osou paraboly, pak má rovnice paraboly tvar

Parabola ve skutečném světě

Trajektorií tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. Při započítání vlivu odporu vzduchu se tělesa pohybují po tzv. balistické křivce, viz volný pád.

Po parabole se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho rychlost přesně rovna únikové rychlosti a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé komety, jsou velmi blízké parabolám.

Pokud se paprsek přicházející do paraboly (či paraboloidu) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí parabolická zrcadla a antény (např. v reflektorech automobilů, dalekohledech, satelitních anténách apod.).

Související články

Externí odkaz