Sféra (matematika)

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována $S^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1},\sum _{i}x_{i}^{2}=r^{2}\}$

V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně, sféra je jednobodová kompaktifikace prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ . Pro $n=\infty$ se také definuje sféra $S^{\infty }$ , která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je $4\pi r^{2}$ , obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r ${2\pi ^{\frac {n+1}{2}} \over \Gamma ({\frac {n+1}{2}})}r^{n}.$
Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný z sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen).
Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou $S^{0},S^{1},S^{3},S^{7}$ (paralelizovatelnost $S^{7}$ má souvislost s oktoniony).
Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole právě když n je liché.
2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy

Homotopie sféry nejsou obecně známy.
Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.