Elektromagnetické vlny

Elektromagnetickým vlněním (viz též elektromagnetické záření) nazýváme děj, při němž se prostorem šíří příčné vlnění elektrického a magnetického pole. Existenci těchto vln předpověděl v roce 1832 anglický fyzik Michael Faraday a skotský fyzik James Clerk Maxwell je v roce 1865 teoreticky dokázal popsat pomocí svých matematicko-fyzikálních rovnic - nyní známých jako Maxwellovy rovnice. Prakticky je dokázal až později Heinrich Hertz.

Využití

Prvním využitím uměle vytvořených elektromagnetických vln byl přenos informace (bezdrátový telegraf). Pomocí elektromagnetických vln dnes například přenášíme televizní a rozhlasové vysílání, komunikujeme mobilními telefony, ovládáme např. hračky pomocí dálkového ovládání, elektroniku (pomocí ovladače), ohříváme stravu (mikrovlnná trouba), zjišťujeme přítomnost a pohyb předmětů (radary).

V širším slova smyslu mezi elektromagnetické vlny patří i světlo.

Zdroje

Zdrojem elektromagnetických vln je náboj, který se pohybuje zrychleně. Může to být například elektrická jiskra - tedy i blesk.

Veličiny popisující vlnu

K popisu elektromagnetické vlny se používají veličiny:

Intenzita elektrického pole ${\vec {E}}\,$ [V/m]
Elektrická indukce ${\vec {D}}\,$ [C/m²]
Intenzita magnetického pole ${\vec {H}}\,$ [A/m]
Magnetická indukce ${\vec {B}}\,$ [T]
Poyntingův vektor ${\vec {S}}\,$ [W/m²]

a pokud se vlna šíří částečně vodivým prostředím, pak také:

Hustota elektrického proudu ${\vec {J}}\,$ [A/m²]. .

Vlastnosti prostředí

Vlastnosti prostředí, které ovlivňují šíření elektromagnetické vlny, jsou tyto: permitivita, permeabilita a konduktivita. V tomto hesle se nadále zabýváme pouze (zjednodušeným, ale častým) případem šíření vlny homogenním lineárním^{[pozn. 1]} izotropním stacionárním^{[pozn. 2]} prostředím.

Permitivita

fyz. vel., popisující vztah mezi vektory intenzity elektrického pole a elektrické indukce v materiálu nebo vakuu. Značí se písmenem $\epsilon$ , v lineárním homogenním izotropním prostředí platí ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$

Permeabilita

fyz. vel., popisující vztah mezi vektory intenzity magnetického pole a magnetické indukce. Značí se písmenem $\mu$ , v lineárním homogenním izotropním prostředí platí ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$

Konduktivita

fyz.vel., popisující vztah mezi vektory intenzity elektrického pole a proudové hustoty. Značí se písmenem $\sigma$ , v lineárním homogenním izotropním prostředí platí ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}$

Matematický popis pro obecný časový průběh veličin - Vlnová rovnice

Z Maxwellových rovnic lze pro lineární, homogenní, stacionární a izotropní prostředí odvodit tzv. telegrafní rovnici, která má mimo oblast zdrojů pole tvar

\Delta {\vec {E}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}-\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0

kde $\Delta$ je Laplaceův operátor. Tento zápis je odvozen pro oblast, v níž neleží zdroje elektromagnetické vlny - popisuje tedy její šíření, nikoli však vznik.

Rovnice má naprosto stejný tvar pro kteroukoli z veličin ${\vec {E}},\,{\vec {D}},\,{\vec {B}},\,{\vec {H}},\,{\vec {J}}\,$ .

Matematický popis pro harmonický časový průběh veličin

Pokud mají veličiny pole harmonický časový průběh, lze časové derivace vyjádřit pomocí úhlové frekvence $\omega =2\pi f\,$ , takže vlnová rovnice pak přejde na tvar

\Delta {\hat {\vec {E}}}+k^{2}{\hat {\vec {E}}}=0\,

kde $k^{2}=-\mathrm {j} \omega \mu (\mathrm {j} \omega \epsilon +\sigma )\,$ je (komplexní) konstanta šíření, $\mu ,\epsilon ,\sigma$ permeabilita, permitivita a konduktivita prostředí a $\mathrm {j} \,$ je imaginární jednotka.

Rovinná vlna

Vlnová rovnice je parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Její řešení dnes provádíme povětšinou numericky. Analytické řešení je známo jen pro jednoduchá uspořádání pole, nicméně je důležité pro základní orientaci v problematice.

Pokud předpokládáme šíření harmonické vlny a otočíme souřadnou soustavu tak, aby se vlna šířila ve směru osy z, zjednoduší se původně parciální diferenciální rovnice na rovnici obyčejnou:

${\frac {d^{2}{\hat {\vec {E}}}}{dz^{2}}}+k^{2}{\hat {\vec {E}}}=0$ .

Tato rovnice má pro fázor intenzity elektrického pole řešení

${\hat {\vec {E}}}(z)={\hat {{\vec {E}}_{0}}}\,\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} kz}+{\hat {\vec {E_{0}^{-}}}}\,\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} kz}$ .

Řešení popisuje dvě vlny, z nichž jedna, se šíří ve směru osy $z$ , druhá v protisměru. ${\hat {{\vec {E}}_{0}}}$ a ${\hat {\vec {E_{0}^{-}}}}$ jsou fázory postupné a zpětné vlny v počátku ( $z=0$ ).

Pro vlnu postupující ve směru osy $z$ tedy platí

${\hat {\vec {E}}}(z)={\hat {\vec {E}}}_{0}\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} kz}$ .

Konstanta šíření

Pokud označíme reálnou a imaginární část konstanty šíření $k=(\beta -\mathrm {j} \alpha )\,$ , můžeme dále psát

${\hat {\vec {E}}}(z)={\hat {\vec {E}}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \beta z}\mathrm {e} ^{-\alpha z}$ .

Tento vztah ukazuje fyzikální význam konstant $\alpha$ a $\beta$ . Prvá z nich udává, jak rychle se vlna tlumí, druhá udává rychlost změny fáze vlny ve směru šíření. Rozměr obou konstant je 1/m. Pro okamžitou hodnotu lze pak psát

${\vec {E}}(z,t)={\vec {E}}_{m}\sin(2\pi ft-\beta z+\phi _{0})\mathrm {e} ^{-\alpha z}$ , nebo alternativně

${\vec {E}}(z,t)={\vec {E}}_{m}\cos(2\pi ft-\beta z+\phi _{0}-{\frac {\pi }{2}})\mathrm {e} ^{-\alpha z}$ ,

kde $E_{m}$ je amplituda vlny v počátku souřadnic $z=0$ a $\phi$ fáze vlny v čase $t=0$ tamtéž. Vyjádření pomocí funkce sinus se častěji používá v české literatuře, zahraniční díla obvykle preferují kosinus.

Určení z vlastností prostředí

Reálnou i imaginární část konstanty šíření můžeme určit výpočtem:

$\beta =\omega {\sqrt {{\frac {\mu \epsilon }{2}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\omega \epsilon }})^{2}}}+1]}}$
$\alpha =\omega {\sqrt {{\frac {\mu \epsilon }{2}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\omega \epsilon }})^{2}}}-1]}}$

Zjednodušení pro dielektrika

Výše uvedené vztahy jsou poněkud komplikované a lze je v některých případech zjednodušit.

Pokud platí $({\frac {\sigma }{\omega \epsilon }})\ll 1$ $({\frac {\sigma }{\omega \epsilon }})\ll 1$ , pak lze prostředí považovat za dielektrikum a psát
- $\beta =\omega {\sqrt {\mu \epsilon }}$
- $\alpha =0\,$

Zjednodušení pro vodiče

Pokud naopak platí $({\frac {\sigma }{\omega \epsilon }})\gg 1$ $({\frac {\sigma }{\omega \epsilon }})\gg 1$ , pak lze prostředí považovat za vodič a psát
- $\beta =\alpha ={\sqrt {\frac {\omega \mu \sigma }{2}}}$

Z uvedeného plyne, že tatáž látka se může vůči elektromagnetické vlně chovat jako vodič i dielektrikum. S rostoucí frekvencí roste jmenovatel zlomku ${\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}$ . Látky tedy nelze na vodiče a dielektrika rozdělit fixně, ale je k tomu třeba ještě znát frekvenci.

Délka vlny

Délka vlny $\lambda$ je vzdáleností mezi dvěma vlnoplochami, jejíchž fáze se liší právě o $2\pi$ radiánů (neboli 360°). Tak lze pro délku vlny nalézt

$\lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}$

Speciálně pro dielektrika platí

$\lambda ={\frac {1}{f{\sqrt {\mu \epsilon }}}}={\frac {c_{0}}{f{\sqrt {\epsilon _{r}}}}}$

Hloubka vniku

Vysokofrekvenční elektromagnetické pole se ve vodivých materiálech rychle tlumí. Hloubkou vniku rozumíme vzdálenost, na které se v daném materiálu amplituda veličin pole ( $E,\,D,\,B,\,H,\,J$ ) utlumí $\mathrm {e}$ -krát, kde $\mathrm {e}$ je Eulerovo číslo (základ přirozených logaritmů). Tato hloubka se označuje $\delta$ a je dána jako

$\delta ={\frac {1}{\alpha }}$

Speciálně pro vodiče platí

$\delta ={\frac {1}{\alpha }}={\sqrt {\frac {2}{\omega \mu \sigma }}}$

Vlnová impedance

Intenzita elektrického pole ${\vec {E}}$ je kolmá k intenzitě pole magnetického ${\vec {H}}$ . Jejich vzájemný poměr určuje veličina, zvaná vlnová impedance prostředí. Je-li intenzita elektrického pole orientována ve směru x, pak platí

$Z_{v}={\frac {{\hat {E}}_{x}}{{\hat {H}}_{y}}}$

Pro většinu materiálů přitom platí

$Z_{v}={\sqrt {\frac {j\omega \mu }{j\omega \epsilon +\sigma }}}$

Speciálně pro vakuum $Z_{v}=120\pi \ \Omega$ .

Přenos energie

Elektromagnetická vlna může přenášet energii. Tato její vlastnost je nejsnadněji popsána Poyntingovým vektorem. Jeho určení pro obecný časový průběh je uvedeno v hesle Poyntingův vektor. Pro harmonický průběh lze pak pro jeho časovou střední hodnotu psát

${\vec {S}}={\frac {1}{2}}\,\mathrm {Re} ({\hat {\vec {E}}}\times {\hat {\vec {H^{*}}}})={\frac {1}{2}}\,\mathrm {Re} ({\hat {\vec {E^{*}}}}\times {\hat {\vec {H}}})$ ,

kde $\times$ značí vektorový součin a $^{*}$ komplexně sdruženou hodnotu.

Poznámky

↑ V lineárním prostředí jsou elektrická indukce a hustota elektrického proudu přímo úměrné intenzitě elektrického pole a intenzita magnetického pole přímo úměrná magnetické indukci.
↑ Vlastnosti stacionárního prostředí, zde především permitivita, permeabilita a konduktivita nejsou funkcemi času (nemění se v čase).

[1] V lineárním prostředí jsou elektrická indukce a hustota elektrického proudu přímo úměrné intenzitě elektrického pole a intenzita magnetického pole přímo úměrná magnetické indukci.

[2] Vlastnosti stacionárního prostředí, zde především permitivita, permeabilita a konduktivita nejsou funkcemi času (nemění se v čase).

[pozn. 1]

[pozn. 2]