Kosinová věta: Porovnání verzí
Bez shrnutí editace značky: školní IP editace z mobilu editace z mobilního webu |
→Důkaz: - nadbytečné mezery |
||
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.) | |||
Řádek 3: | Řádek 3: | ||
V [[trigonometrie|trigonometrii]] je '''kosinová věta''' tvrzení o rovinných [[trojúhelník|trojúhelnících]], které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran. |
V [[trigonometrie|trigonometrii]] je '''kosinová věta''' tvrzení o rovinných [[trojúhelník|trojúhelnících]], které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran. |
||
Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními [[úhel|úhly]] |
Pro každý trojúhelník <math>ABC</math> s vnitřními [[úhel|úhly]] <math>\alpha, \beta, \gamma</math> a stranami <math>a, b, c</math> platí: |
||
<math> |
|||
\begin{align} |
|||
a^2 & = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha \\ |
|||
b^2 & = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta \\ |
|||
c^2 & = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
Speciálním případem kosinové věty je [[Pythagorova věta]]: pokud je úhel γ pravý, pak <math>\cos \gamma = 0</math> a tudíž <math>c^2 = a^2 + b^2</math>. |
Speciálním případem kosinové věty je [[Pythagorova věta]]: pokud je úhel γ pravý, pak <math>\cos \gamma = 0</math> a tudíž <math>c^2 = a^2 + b^2</math>. |
||
Řádek 14: | Řádek 18: | ||
== Důkaz == |
== Důkaz == |
||
Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí [[Skalární součin| |
Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí [[Skalární součin|skalárního součinu]]. |
||
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany |
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany <math>a</math> trojúhelníku <math>ABC</math> je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu <math>\alpha</math> (ostrý, pravý a tupý): |
||
* Je-li |
* Je-li <math>\alpha</math> ostrý a bod <math>P</math> patou výšky <math>v_c</math>, pak bod <math>P</math> náleží straně <math>c</math> (pokud ne, prohodíme označení bodů <math>B</math> a <math>C</math>). Vzdálenost paty <math>P</math> od bodu <math>A</math> označíme <math>u</math>. Pak podle Pythagorovy věty je |
||
: <math>a^2 = v_c^2 + (c-u)^2</math>. |
: <math>a^2 = v_c^2 + (c-u)^2</math>. |
||
: Protože dále platí, že <math>u = b \cos \alpha</math> a <math>v_c = b \sin \alpha</math>, lze psát |
: Protože dále platí, že <math>u = b \cos \alpha</math> a <math>v_c = b \sin \alpha</math>, lze psát |
||
Řádek 26: | Řádek 30: | ||
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math> |
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math> |
||
* Je-li |
* Je-li <math>\alpha</math> pravý, pak podle Pythagorovy věty je |
||
:<math>a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math> |
:<math>a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math> |
||
: Protože je |
: Protože je <math>\alpha = \pi/2</math>, je <math>\cos \alpha = 0</math>, a pak |
||
:<math> |
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 0</math>, pak tedy |
||
:<math> |
: <math>a^2 = b^2 + c^2</math> |
||
* Je-li |
* Je-li <math>\alpha</math> tupý a bod <math>P</math> patou výšky <math>v_c</math>, pak bod <math>P</math> leží mimo <math>c</math>. Vzdálenost paty <math>P</math> od bodu <math>A</math> označíme <math>u</math>. Pak podle Pythagorovy věty je |
||
: <math>a^2 = v_c^2 + (c+u)^2</math>. |
: <math>a^2 = v_c^2 + (c+u)^2</math>. |
||
: Protože dále platí, že <math>u = b \cos (\pi - \alpha)</math> a <math>v_c = b \sin (\pi - \alpha)</math> a dále <math>\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha</math> a <math>\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha</math> lze psát |
: Protože dále platí, že <math>u = b \cos (\pi - \alpha)</math> a <math>v_c = b \sin (\pi - \alpha)</math> a dále <math>\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha</math> a <math>\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha</math> lze psát |
||
: <math>a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2</math>. |
: <math>a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2</math>. |
||
: Což je totéž, jako v případě, že je úhel |
: Což je totéž, jako v případě, že je úhel <math>\alpha</math> ostrý a tedy |
||
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>. |
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>. |
||
== Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku == |
|||
Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v podobě: |
|||
<math> |
|||
\begin{align} |
|||
\cos a & = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \alpha \\ |
|||
\cos b & = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos \beta \\ |
|||
\cos c & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
[[Soubor:Ortodroma.svg|thumb|Ortodroma]] |
|||
Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky [[Ortodroma|ortodromy]] („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu): |
|||
<math>\begin{align} |
|||
\cos e & = \cos (90^\circ - \phi_1) \cos (90^\circ - \phi_2) + \sin (90^\circ - \phi_1) \sin (90^\circ - \phi_2) \cos\Delta\lambda\\ |
|||
& = \sin\phi_1 \sin\phi_2 + \cos\phi_1 \cos\phi_2 \cos\Delta\lambda |
|||
\end{align}</math> |
|||
kde |
|||
* <math>\phi_1, \phi_2</math> jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst |
|||
* <math>\Delta\lambda</math> je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst |
|||
* <math>e</math> je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země |
|||
Délku ortodromy pak lze vypočíst jako <math>d = e \cdot r</math>, je-li e v úhlové míře, resp. <math>d = \frac{2\pi e}{360} \cdot r</math>, je-li <math>e</math> ve stupních. |
|||
== Související články == |
== Související články == |
||
Řádek 45: | Řádek 75: | ||
* [[Pythagorova věta]] |
* [[Pythagorova věta]] |
||
* [[Goniometrie]] |
* [[Goniometrie]] |
||
* [[Sférická trigonometrie#Kosinová pravidla]] |
|||
{{Portály|Matematika}} |
{{Portály|Matematika}} |
Verze z 12. 6. 2020, 18:55
V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.
Pro každý trojúhelník s vnitřními úhly a stranami platí:
Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak a tudíž .
Větu lze mimo jiné použít v případě, že jsou dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.
Důkaz
Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany trojúhelníku je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu (ostrý, pravý a tupý):
- Je-li ostrý a bod patou výšky , pak bod náleží straně (pokud ne, prohodíme označení bodů a ). Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
- .
- Protože dále platí, že a , lze psát
- Je-li pravý, pak podle Pythagorovy věty je
- Protože je , je , a pak
- , pak tedy
- Je-li tupý a bod patou výšky , pak bod leží mimo . Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
- .
- Protože dále platí, že a a dále a lze psát
- .
- Což je totéž, jako v případě, že je úhel ostrý a tedy
- .
Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku
Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v podobě:
Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):
kde
- jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
- je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
- je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země
Délku ortodromy pak lze vypočíst jako , je-li e v úhlové míře, resp. , je-li ve stupních.