Posloupnost funkcí

V matematice pojem posloupnost funkcí označuje posloupnost, jejímž členy jsou funkce. Nejtypičtější jsou posloupnosti funkcí reálné proměnné. Studium posloupností funkcí je součástí funkcionální analýzy.

Definice

Posloupností funkcí nazveme libovolné zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny funkcí. Zapisujeme $(a_{n}):\mathbb {N} \to \mathrm {X}$, kde $\mathrm {X}$ je množina funkcí.

Nejčastěji se uvažuje o posloupnostech nad metrickými prostory funkcí jako je Lp prostor.

Konvergence posloupnosti funkcí

Na posloupnostech funkcí se rozlišuje několik druhů konvergence – například posloupnost lineárních funkcí $f_{n}(x)=x/n$ konverguje k nulové funkci $f(x)=0$ bodově, ale ne stejnoměrně.

• Posloupnost funkcí $\{f_{n}\}$ konverguje bodově k funkci $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, pokud konverguje v každém bodě, tj. pro každé $\varepsilon >0$ a každé $x\in R$ existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že $f_{n_{0}}$ (a všechny následující) se od $f$ v bodě $x$ liší o méně než $\varepsilon$.
• Posloupnost konverguje stejnoměrně, pokud platí tatáž podmínka s tím rozdílem, že uvedené $n_{0}$ nezávisí na $x$.
• Konverguje skoro všude, pokud bodově konverguje v každém bodě kromě množiny tak malé, že její míra (např. Lebesgueova míra) je nulová.
• Konvergence řady funkcí: Tak jako zápis $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ je zkratka pro limitu posloupnosti částečných součtů, tj. $\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{j}$ tak i $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ je zkratka pro $\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)$. Tato posloupnost částečných (funkčních) součtů může konvergovat stejnoměrně, bodově, skoro všude apod.
• Konečně pro každou topologickou strukturu na množině funkcí lze hovořit o konvergenci podle této topologie, přičemž se nijak nevyužívá, že objekty konvergence jsou funkce. Jinými slovy: na množině funkcí, stejně jako na každé jiné množině, libovolná topologická struktura definuje konvergenci.

Tyto definice lze zobecnit na konvergenci funkcí z jakékoli množiny  do vhodné množiny :

• Pro stejnoměrnou konvergenci je potřeba, aby  byl metrický prostor nebo alespoň uniformní prostor.
• Pro bodovou konvergenci postačí topologický prostor.
• Pro konvergenci skoro všude musí navíc být dáno, jaké podmnožiny  jsou „malé“ (typicky tím, že X je prostor s mírou).
• Konvergence řady je studována především v Banachových prostorech, protože je tam k dispozici sčítání a metrika a všechny cauchyovské posloupnosti tam mají limitu.

V metrických prostorech

Definice bodové ani stejnoměrné konvergence reálných posloupností nijak nevyužívá toho, že definiční obory funkcí jsou právě reálná čísla. Proto je možné tyto pojmy zobecnit z funkcí z $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ na funkce $X\to \mathbb {R}$ pro jakoukoli neprázdnou množinu $X$, aniž bychom na $X$ vyžadovali nějakou dodatečnou strukturu, např. že to má být metrický prostor.

Skutečnost, že $f_{n}(x)$ a $f(x)$ jsou reálná čísla, není v podmínce $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ (ani žádné další části definice) využita nad rámec toho, že lze stanovit jejich vzdálenost. Proto místo reálných čísel můžeme použít jakoukoli množinu $Y$ s kteroukoli metrikou $d$. Díky tomu lze pro libovolnou neprázdnou množinu $X$ a libovolný metrický prostor $(Y,d)$ lze definovat, že posloupnost funkcí $\{f_{n}\}:X\to Y$ konverguje k funkci $f$.

• Bodově když $\forall \varepsilon \!>\!0\;\forall \,x\!\in \!X\;\exists \,n_{0}\!\in \!\mathbb {N} \;\forall n\!>\!n_{0}\;:\;d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$.

• Stejnoměrně když $\forall \varepsilon \!>\!0\;\exists \,n_{0}\!\in \!\mathbb {N} \;\forall \,x\!\in \!X\;\forall n\!>\!n_{0}\;:\;d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$.

Tyto dvě definice se liší jen prohozením pořadí kvantifikátorů $\forall \,x$ a $\exists \,n_{0}$, stejně jako u definice na reálných číslech, která je speciálním případem této obecnější definice. Pořadí kvantifikátorů je zde velmi důležité. Stejnoměrná konvergence je mnohem silnější a implikuje bodovou. Vztah mezi těmito konvergencemi popisuje Diniho věta.

Příklad

Příklad posloupnosti funkcí, která konverguje bodově, ale ne stejnoměrně.

Mějme $f_{n}(x)=\operatorname {\sin ^{2n}} x$ a supremovou metriku $d(f,g)=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f(x)-g(x)|$. Tato posloupnost konverguje bodově k funkci $g(x)={\begin{cases}1,&x=\pi n,n\in \mathbb {Z} \\0,&{\mbox{jinak}}\end{cases}}$, protože pro každé $\forall \varepsilon$ a $\forall x$ se dá snadno najít index, od kterého bude podmínka splněna. Avšak nekonverguje stejnoměrně, protože bychom hledali takové $n_{0}$, že $\forall n\!>\!n_{0}:\sup _{x\in \mathbb {R} }|f_{n}(x)-g(x)|<\varepsilon$, ale v $\sup _{x\in \mathbb {R} }|f_{n}(x)-g(x)|=1$ pro jakékoliv n, protože v je $\pi /2$ bod nespojitosti g(x).

V topologických prostorech

Podrobnější informace naleznete v článku Topologický prostor.

Topologický prostor Y nemá definované nic obdobného metrice, pouze nese informaci o otevřených množinách na $Y$. Ne všechny topologické prostory jsou metrizovatelné (tj. lze na nich definovat metriku).

Bez konkrétní metriky na $Y$ nelze hovořit o stejnoměrné konvergenci, topologie. Říkáme, že posloupnost funkcí ${f_{n}}$ z množiny $X$ do topologického prostoru $Y$ k funkci $f\to Y$ konverguje bodově, pokud pro každé $x\in X$ posloupnost ${f_{n}(x)}$ bodů z $Y$ konverguje k $f(x)$.

Formálně zapsáno:

Necht’ $(X,T)$ je topologický prostor, $(u_{i})\subset X$ je posloupnost bodů z $X$ a $u\in X$. Jestliže ke každému okolí $G$ bodu $x$ existuje index $n_{0}\in N$ takový, že $u_{n}\in G$ pro všechna $nn_{0}$, řekneme, že posloupnost $(u_{i})$ konverguje k bodu $u\in X$ a píšeme $x_{n}\to x$ v $(X,T)$ nebo $\lim _{i\to \infty }u_{i}=u$.

V uniformních prostorech

Podrobnější informace naleznete v článku Uniformní prostor.

K zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z $X$ do $Y$ nestačí, aby $Y$ byl pouze topologický prostor, topologická struktura, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou.

Pro neprázdnou množinu $X$, uniformní prostor $(Y,U)$ a množinu funkcí ${f_{n}}$ z $X$ do $Y$ se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci $f:X\to Y$, pokud ke každému $V\in U$ existuje $N\in \mathbb {N}$, takové že pro všechna $n\geq N$ a $x\in X$ platí $(f_{n}(x),f(x))\in V$.