Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou základní zákony v makroskopické teorii elektromagnetického pole. Lze je zapsat buď v integrálním nebo diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v určitém bodu této oblasti.

Formulace Maxwellových rovnic

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. V jiných soustavách se v zápisu objevují navíc konstanty jako např. rychlost světla c a $4\pi$ (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

První Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu, zobecněný Ampérův zákon)

integrální tvar

$\oint _{c}\mathbf {H} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =I+{\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}},$$\Psi \equiv \int _{S}\mathbf {D} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} ,$ $I=\int _{S}\mathbf {j} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} .$

Cirkulace vektoru H po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna součtu celkového vodivého proudu I a posuvného proudu ${\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}}$, spřažený křivkou c, Křivka c a libovolná plocha S, jež křivku obepíná jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

Rotace vektoru intenzity magnetického pole H je rovna hustotě vodivého proudu j a hustotě posuvného (Maxwellova) proudu ${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

Druhá Maxwellova rovnice (Zákon elektromagnetické indukce, Faradayův indukční zákon)

integrální tvar

$\oint _{c}\mathbf {E} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}},$$\Phi \equiv \int _{S}\mathbf {B} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {A} .$

Cirkulace vektoru E po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna záporně vzaté derivaci magnetického indukčního toku spřaženého křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jíž křivka obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Rotace vektoru intenzity elektrického pole E je rovna záporně vzaté derivaci magnetické indukce B.

Třetí Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky)

integrální tvar

$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} =Q,$$Q=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V.$

Elektrický indukční tok libovolnou vně orientovanou plochou S je roven celkovému volnému náboji v prostorové oblasti V ohraničené plochou S.

diferenciální tvar

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .$

Divergence vektoru elektrické indukce D je rovna objemové hustotě volného náboje ρ. Ekvivalentní formulace: siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je přítomen elektrický náboj.

Čtvrtá Maxwellova rovnice (Zákon spojitosti indukčního toku)

integrální tvar

$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} =0.$

Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.

diferenciální tvar

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0.$

Divergence vektoru magnetické indukce B je rovna nule. Ekvivalentní formulace: neexistují magnetické monopóly.

---

Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka

Označení	Význam	Jednotka SI
$\mathbf {E}$	intenzita elektrického pole	V/m
$\mathbf {H}$	intenzita magnetického pole	A/m
$\mathbf {D}$	elektrická indukce	C/m²
$\mathbf {B}$	magnetická indukce	T
$\ \rho \$	hustota volného náboje	C/m³
$\mathbf {j}$	hustota proudu	A/m²

Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že se hustota polarizace P (C/m²) a hustota magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:

$\mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$

a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:

$\mathbf {D} \ \ =\ \ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ \ =\ \ (1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ \ =\ \ \varepsilon \mathbf {E}$

$\mathbf {B} \ \ =\ \ \mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\ \ =\ \ (1+\chi _{m})\mu _{0}\mathbf {H} \ \ =\ \ \mu \mathbf {H} ,$

kde:

$\chi _{e}$ je elektrická susceptibilita materiálu,

$\chi _{m}$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho$

$\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.

Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.

Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru

$\mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} ,$

kde γ je měrná vodivost daného materiálu.

Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů

Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu Φ a A, které jsou definovány tak, aby platilo

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,$

$\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$

E a B se přitom nezmění, pokud k potenciálu Φ přičteme libovolnou konstantu, nebo k A divergenci libovolného vektorového pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. Lorentzovu kalibrační podmínku

$\nabla \cdot \mathbf {A} +\varepsilon \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0.$

Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic v prostoročasu

$\square \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }},$

$\square \mathbf {A} =-\mu \,\mathbf {j} ,$

kde $\square$ je d'Alembertův operátor.