Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic . Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem . Matice mají tvar:
σ
1
=
σ
x
=
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
σ
2
=
σ
y
=
(
0
−
i
i
0
)
{\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
σ
3
=
σ
z
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
Nesou jméno Wolfganga Pauliho .
σ
1
2
=
σ
2
2
=
σ
3
2
=
(
1
0
0
1
)
=
I
{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
kde
I
{\displaystyle I}
označuje jednotkovou matici .
det
(
σ
i
)
=
−
1
Tr
(
σ
i
)
=
0
pro
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad {\hbox{ pro }}\ i=1,2,3\end{matrix}}}
Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σi jsou ±1.
Společně s jednotkovou maticí I , která bývá někdy zapisována jako σ0 , tvoří Pauliho matice ortogonální bázi vůči Hilbertově–Schmidtově normě na Hilbertově prostoru reálných 2 × 2 hermitovských matic,
H
2
(
C
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}(\mathbb {C} )}
, případně Hilbertově prostoru komplexních 2 × 2 matic,
M
2
,
2
(
C
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}
.
Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:
[
σ
i
,
σ
j
]
=
2
i
ε
i
j
k
σ
k
{
σ
i
,
σ
j
}
=
2
δ
i
j
⋅
I
{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}}
kde
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
je Levi-Civitův symbol ,
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice .
Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru:
σ
i
σ
j
=
δ
i
j
⋅
I
+
i
ε
i
j
k
σ
k
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\,}
.
Např.
σ
1
σ
2
=
i
σ
3
,
σ
2
σ
3
=
i
σ
1
,
σ
2
σ
1
=
−
i
σ
3
,
σ
1
σ
1
=
σ
2
σ
2
=
σ
3
σ
3
=
I
.
{\displaystyle {\begin{matrix}\sigma _{1}\sigma _{2}&=&i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=&i\sigma _{1},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=&-i\sigma _{3},\\\sigma _{1}\sigma _{1}&=&\sigma _{2}\sigma _{2}&=&\sigma _{3}\sigma _{3}&=&I.\\\end{matrix}}}
Např.
σ
1
σ
1
T
=
σ
1
T
σ
1
=
I
,
σ
2
σ
2
T
=
σ
2
T
σ
2
=
−
I
,
σ
3
σ
3
T
=
σ
3
T
σ
3
=
I
,
{\displaystyle {\begin{matrix}\sigma _{1}\sigma _{1}^{T}&=&\sigma _{1}^{T}\sigma _{1}&=&I,\\\sigma _{2}\sigma _{2}^{T}&=&\sigma _{2}^{T}\sigma _{2}&=&-I,\\\sigma _{3}\sigma _{3}^{T}&=&\sigma _{3}^{T}\sigma _{3}&=&I,\\\end{matrix}}}
kde index
T
{\displaystyle T}
značí transponování matice .
Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako
J
=
ℏ
2
σ
{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}
. Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. Spinové matice pro spin
1
{\displaystyle 1}
a
3
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}}
mají tvar:
j
=
1
{\displaystyle j=1}
:
J
x
=
ℏ
2
(
0
1
0
1
0
1
0
1
0
)
{\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}
J
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
0
i
0
−
i
0
i
0
)
{\displaystyle J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}
J
z
=
ℏ
(
1
0
0
0
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}
j
=
3
2
{\displaystyle j={\frac {3}{2}}}
:
J
x
=
ℏ
2
(
0
3
0
0
3
0
2
0
0
2
0
3
0
0
3
0
)
{\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}}
J
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
3
0
0
i
3
0
−
2
i
0
0
2
i
0
−
i
3
0
0
i
3
0
)
{\displaystyle J_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}}
J
z
=
ℏ
2
(
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
3
)
{\displaystyle J_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}}
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pauli matrices na anglické Wikipedii.