Poincarého grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Poincarého grupa, pojmenovaná po Henri Poincarém a poprvé definovaná Hermannem Minkowskim, je grupa izometrií Minkowského prostoru. Jedná se o deseti-generátorové neabelovské Lioevy grupy se zásadním významem ve fyzice.

Přehled[editovat | editovat zdroj]

Izometrie Minkowského prostoročasu má tu vlastnost, že interval mezi dvěma událostmi bývá neměnný. Například, je-li vše odloženo o dvě hodiny, včetně dvou událostí a cesty mezi nimi, pak časový interval mezi událostmi bude stejný. Nebo, pokud se vše posune o 5 kilometrů na západ nebo o 60 stupňů doprava, neměli bychom také pozorovat žádnou změnu v intervalu. Ukazuje se, že vlastní délka objektu je také neovlivněna tímto posunem. Časové nebo prostorové obrácení je také izometrií této grupy.

Pokud ignorujeme účinky gravitace, existuje v Minkowského prostoročasu deset stupňů volnosti z izometrií, které mohou být uvažovány jako translace v čase nebo prostoru (čtyři stupně, jeden na rozměr), zrcadlení přes rovinu (stři stupně, volnost orientace v této rovině) nebo Lorentzova transformace v jakékoli prostorové dimenzi (tři stupně). Složení transformací je operátorem Poincarého grupy.

V klasické fyzice je Galileova grupa srovnatelná grupa deseti parametrů, která působí na absolutní čas a prostor.

Detaily[editovat | editovat zdroj]

Poincarého grupa je grupou izometrií Minkowského prostoročasu. Jedná se o deseti rozměrnou nekompaktní Lieovu grupu. Abelova grupa translace je normální podgrupa, zatímco Lorentzova grupa je podgrupa stabilizující původ. Poincarého grupa sama je minimální podgrupa afinní grupy, která zahrnuje všechny translace a Lorentzovy transformace. Přesněji jde o nepřímý součin translace a Lorentzovy grupy.

Další způsob jak toto ukázat je, že Poincarého grupa je rozšíření Lorentzovy grupy vektorem zastupujícím ji. To je někdy nazýváno jako nehomogenní Lorentzova grupa. Může být ovšem také získána jako konstrukce de Sitterovy grupy SO(4,1) ~ Sp(2,2), jak jde de Sitterův rádius k nekonečnu.

Její pozitivní energie unitární neredukovatelné reprezentace jsou indexem hmotnosti (nezáporné číslo) a spinu (celočíselná nebo poločíselná hodnota) a jsou spojeny s částicemi v kvantové mechanice.

V souladu s Erlangenským programem byla geometrie Minkowského prostoru definována touto Poincarého grupou. Minkowského prostor je považován za homogenní prostor pro tuto grupu.

Poincarého algebra je Lieova algebra z Poincarého grupy. Je to Lieova algebra rozšířená z Lieovy algebra Lorentzovy grupy. Přesněji řečeno, vlastní (detΛ=1) časově neměnná (Λ00≥1) část Lorentzovy grupy (její komponent identity), SO+(1, 3), je spojen s identitou a tedy umožňuje umocňování exp(iaμPμ) exp(μνMμν/2) z Lieovy algebry. V komponentní formě je Poincarého algebra dána komutačním vztahem:

kde P je generátor translace, M je generátor Lorentzovy transformace a η je (+,−,−,−) Minkowského metrika.

Spodní komutační vztah je ("homogenní") Lorentzova grupa, skládající se z rotací, Ji =ϵimnMmn/2, a rostoucí, Ki = Mi0. Při tomto způsobu zápisu se celá Poincarého algebra stávý výraznější v nekovariantním ale praktičtějším jazyku:

kde dolní mez komutátoru ze dvou zesílení je často označována jako Wignerova rotace. Je zde patrné výrazné zjednodušení [Jm+i Km , Jn−i Kn] = 0, což umožňuje snížení Lorentzovy podalgebry su(2)su(2) a efektivnější zacházení se s ní spojenými reprezentacemi.

Casimirovy invarianty této algebry jsou PμPμ a Wμ Wμ kde Wμ je Pauliho-Lubanského pseudovektor. Tyto slouží jako označení reprezentace grupy.

Poincarého grupa je plná symetrická grupa jakékoli relativistické polní teorie. Výsledkem je, že všechny elementární částice spadají do reprezentace této grupy. Tyto jsou obvykle specifikovány jako čtverec čtyřhybnosti každé částice a vnitřní kvantová čísla JPC, kde J spinové kvantové číslo, P je parita a C je C symetrie, tedy kvantové číslo konjugace náboje. V praxi, nábojová symetrie a parita jsou porušovány v mnoha kvantových polních teoriích. Nicméně CPT symetrie je v kvantových polních teoriích neměnná.

Jako topologický prostor má grupa čtyři propojené složky: složku identity, složku časového obrácení, komponent prostorové inverze a složku obrácení času i prostoru.

Poincarého symetrie[editovat | editovat zdroj]

Poincarého symetrie je plnou symetrií speciální teorie relativity. Zahrnuje

  • Translaci (posunutí) v čase a prostoru (P), tvořící abelovskou Lieovu grupu translací prostoročasu
  • Rotaci ve vesmíru, tvořící neabelovskou Lieovu grupu trojrozměrných rotací (J)
  • Transformace spojující dvě jednotně se pohybující tělesa (K)

Poslední dvě symetrie J a K společně tvoří Lorentzovu grupu, nepřímý produkt translační grupy a Lorentzova grupa pak produkuje Poincarého grupu. Objekty, které jsou neměnné v rámci této grupy jsou nazývány relativisticky invariantní.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Poincaré group na anglické Wikipedii.