Symetrická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Symetrická grupa n-prvkové množiny n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu všech sudých permutací, která je jednoduchá pro .

Počet konjugačních tříd je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy .

Symetrická grupa nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou . Grupa má grupu vnějších automorfizmů .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Symetrická grupa je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa . Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001