Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.
Míra
Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).
Přesná definice
Mějme měřitelný prostor . Množinovou funkci nazveme mírou, jestliže splňuje:
- Míra prázdné množiny je nulová: .
- Míra je vždy nezáporná:
- σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin platí
Trojici pak nazýváme prostor s mírou.
Vlastnosti míry
- Pro posloupnost množin platí:
- Pro posloupnost podmnožin platí:
- Naopak pro posloupnost nadmnožin: pokud pak platí:
Příklady měr
- Diracova míra : Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:
Reference
- Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
- J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF
Související články