Brownův pohyb

Znázornění Brownova pohybu na záznamu polohy nahodile se pohybující částice. Zobrazení téhož pohybu nezávisle v 32, 256 a 2048 krocích je znázorněno postupně světlejšími barvami

Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí - difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):
$m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\xi v+F'(t)$

kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): $F_f=\xi v= 6 \pi \mu r v$
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

$m \dot{x}_i \frac{\mathrm{d}\dot{x}_i}{\mathrm{d}t}=-\xi x_i \dot{x}_i +F'(t) x_i$

Upravíme:

$m[ \frac{\mathrm{d}\dot{x}_i x_i}{\mathrm{d}t}-\dot{x}_i \dot{x}_i ]=-\xi x_i \dot{x}_i +F'(t) x_i$

Střední hodnota:

$m <\frac{\mathrm{d}\dot{x}_i x_i}{\mathrm{d}t}>-m <\dot{x}_i \dot{x}_i> =-\xi <x_i \dot{x}_i> +<F'(t)><x_i>$

Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:$<x_i>=0$

Ekvipartiční teorém ve 3D:$1/2 mv^2 =3/2 kT$ kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota

Po úpravě dostaneme:

$m <\frac{\mathrm{d}\dot{x}_i x_i}{\mathrm{d}t}>-3kT =-\xi <x_i \dot{x}_i>$

Řešení této diferenciální rovnice je (protože $<x_i \dot{x}_i>(0)=0$ ):
$<x_i \dot{x}_i>= \frac{3kT}{\xi}(1-\exp(-\xi t/m))$
Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše: $1/2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}<r^2(t)> =1/2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}<x_i x_i>=<x_i \dot{x}_i>$
Dostaneme:
$<r^2(t)> =\frac{6kT}{\xi}\int (1-\exp(-\xi t/m)) \mathrm{d}t=\frac{6kT}{\xi}[t-m/\xi (1-\exp(-\xi t/m))]$
Aproximace: $t \xi/m>>1$ odpovídá Brownově pohybu.
Výsledek se redukuje na:
$<r^2(t)> =\frac{6kT}{\xi}t=\frac{kT}{\pi \mu r}t$
Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.


Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní $1/2 mv^2 =1/2 kT$, jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:
$<r^2(t)> =\frac{2kT}{\xi}t=\frac{kT}{3 \pi \mu r}t$

Literatura a odkazy

Související články

• Wienerův proces
• Entropie