Diagonalizovatelná matice: Porovnání verzí
m →Podmínka diagonalizovatelnosti: mezery |
|||
Řádek 22: | Řádek 22: | ||
# Vyjáříme si charakteristický polynom <math>\det (A - \lambda E)</math>, najdeme jeho [[Kořen polynomu|kořeny]] <math>\lambda_1, \, ..., \, \lambda_k</math> a poznamenáme si jejich [[Násobnost kořene|násobnost]]. |
# Vyjáříme si charakteristický polynom <math>\det (A - \lambda E)</math>, najdeme jeho [[Kořen polynomu|kořeny]] <math>\lambda_1, \, ..., \, \lambda_k</math> a poznamenáme si jejich [[Násobnost kořene|násobnost]]. |
||
# Matice <math>D</math>bude mít tvar <math>D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \, ..., \, \lambda_1, \lambda_2, \, ..., \, \lambda_k)</math>, každé <math>\lambda_i</math>bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost. |
# Matice <math>D</math> bude mít tvar <math>D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \, ..., \, \lambda_1, \lambda_2, \, ..., \, \lambda_k)</math>, každé <math>\lambda_i</math> bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost. |
||
# Pro každé <math>\lambda_i</math>najdeme [[jádro matice]] <math>(A - \lambda E)</math>. Následně nalezneme [[Báze (lineární algebra)|bázi]] tohoto jádra <math>(v_{i,1}, \, ..., \, v_{i,m})</math>, <math>m</math>je násobnost <math>\lambda_i</math>. |
# Pro každé <math>\lambda_i</math> najdeme [[jádro matice]] <math>(A - \lambda E)</math>. Následně nalezneme [[Báze (lineární algebra)|bázi]] tohoto jádra <math>(v_{i,1}, \, ..., \, v_{i,m})</math>, <math>m</math> je násobnost <math>\lambda_i</math>. |
||
# Sloupce matice <math>R</math>budou tvořeny vektory <math>(v_{1,1} \, | \, v_{1,2} \, | \, ... | \, v_{1,m} \, | \, v_{2,1} \, | \, ... | \, v_{k,n})</math>. |
# Sloupce matice <math>R</math> budou tvořeny vektory <math>(v_{1,1} \, | \, v_{1,2} \, | \, ... | \, v_{1,m} \, | \, v_{2,1} \, | \, ... | \, v_{k,n})</math>. |
||
# Nalezneme [[Inverzní matice|inverzní matici]] <math>R^{-1}</math>. |
# Nalezneme [[Inverzní matice|inverzní matici]] <math>R^{-1}</math>. |
||
# Platí <math>A = R \, D \, R^{-1}</math>, <math>D = R^{-1} A \, R</math>. |
# Platí <math>A = R \, D \, R^{-1}</math>, <math>D = R^{-1} A \, R</math>. |
Verze z 21. 5. 2020, 19:46
V lineární algebře se čtvercové matici říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici , tzn. pokud existuje taková regulární matice , pro kterou by platilo . Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus nad vektorovým prostorem , pokud existuje báze (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.
Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.
Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.
Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné (), ale kongruentní (). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je ortogonální a platí . Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.[1]
Podmínka diagonalizovatelnosti
Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
Vlastní číslo matice je takové , které pro nějaký vektor splňuje . Tato podmínka se dá snadno přepsat jako .
Máme-li matici a její vlastní číslo , hodnota se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla .
Polynom se nazývá charakteristický polynom matice a jeho kořeny jsou vlastními čísly . Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost jako kořene tohoto polynomu.
Věta: Nechť je čtvercová matice a její vlastní čísla. je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého rovna jeho geometrické násobnosti.[1]
Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru
Hledání diagonálního tvaru a matice přechodu lze shrnout do několika kroků:
- Vyjáříme si charakteristický polynom , najdeme jeho kořeny a poznamenáme si jejich násobnost.
- Matice bude mít tvar , každé bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
- Pro každé najdeme jádro matice . Následně nalezneme bázi tohoto jádra , je násobnost .
- Sloupce matice budou tvořeny vektory .
- Nalezneme inverzní matici .
- Platí , .
Příklad
Uvažujme matici:
Charakteristický polynom matice je:
Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:
Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:
Nyní nalezneme ke každému vlastní vektory. Jsou to:
Jednoduchou kontrolou je:
Matici získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v .
Nakonec k najdeme inverzi:
Přímým výpočtem lze ověřit, že :
Současná diagonalizovatelnost
Matice se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové , že jak , tak jsou diagonální. Obdobně endomorfismy jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.
Věta: Nechť je vektorový prostor a množina diagonalizovatelných endomorfismů na . Pak je současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.[1]
Externí odkazy
- ↑ a b c ŠMÍD, Dalibor. Lineární algebra pro fyziky. Verze z 15. května 2019. Dostupné také z: http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS1819