Diagonalizovatelná matice: Porovnání verzí
m →Podmínka diagonalizovatelnosti: tyhle mezery jsem taky přehlíd |
|||
Řádek 16: | Řádek 16: | ||
[[Polynom]] <math>p_A(\lambda) = \det(A - \lambda E)</math> se nazývá ''charakteristický polynom matice'' <math>A</math> a jeho kořeny jsou vlastními čísly <math>A</math>. Termínem ''algebraická násobnost'' se označuje [[Násobnost kořene|násobnost <math>\lambda</math> jako kořene]] tohoto polynomu. |
[[Polynom]] <math>p_A(\lambda) = \det(A - \lambda E)</math> se nazývá ''charakteristický polynom matice'' <math>A</math> a jeho kořeny jsou vlastními čísly <math>A</math>. Termínem ''algebraická násobnost'' se označuje [[Násobnost kořene|násobnost <math>\lambda</math> jako kořene]] tohoto polynomu. |
||
'''Věta:''' Nechť <math>A</math>je čtvercová matice a <math>\lambda_1, \, \dots , \, \lambda_k</math>její vlastní čísla. <math>A</math>je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého <math>\lambda_i</math> rovna jeho geometrické násobnosti.<ref name=":0">ŠMÍD, Dalibor. ''Lineární algebra pro fyziky''. Verze z 15. května 2019. Dostupné také z: http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS1819</ref> |
'''Věta:''' Nechť <math>A</math> je čtvercová matice a <math>\lambda_1, \, \dots , \, \lambda_k</math> její vlastní čísla. <math>A</math> je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého <math>\lambda_i</math> rovna jeho geometrické násobnosti.<ref name=":0">ŠMÍD, Dalibor. ''Lineární algebra pro fyziky''. Verze z 15. května 2019. Dostupné také z: http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS1819</ref> |
||
== Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru == |
== Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru == |
Verze z 21. 5. 2020, 19:49
V lineární algebře se čtvercové matici říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici , tzn. pokud existuje taková regulární matice , pro kterou by platilo . Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus nad vektorovým prostorem , pokud existuje báze (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.
Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.
Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.
Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné (), ale kongruentní (). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je ortogonální a platí . Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.[1]
Podmínka diagonalizovatelnosti
Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
Vlastní číslo matice je takové , které pro nějaký vektor splňuje . Tato podmínka se dá snadno přepsat jako .
Máme-li matici a její vlastní číslo , hodnota se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla .
Polynom se nazývá charakteristický polynom matice a jeho kořeny jsou vlastními čísly . Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost jako kořene tohoto polynomu.
Věta: Nechť je čtvercová matice a její vlastní čísla. je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého rovna jeho geometrické násobnosti.[1]
Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru
Hledání diagonálního tvaru a matice přechodu lze shrnout do několika kroků:
- Vyjáříme si charakteristický polynom , najdeme jeho kořeny a poznamenáme si jejich násobnost.
- Matice bude mít tvar , každé bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
- Pro každé najdeme jádro matice . Následně nalezneme bázi tohoto jádra , je násobnost .
- Sloupce matice budou tvořeny vektory .
- Nalezneme inverzní matici .
- Platí , .
Příklad
Uvažujme matici:
Charakteristický polynom matice je:
Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:
Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:
Nyní nalezneme ke každému vlastní vektory. Jsou to:
Jednoduchou kontrolou je:
Matici získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v .
Nakonec k najdeme inverzi:
Přímým výpočtem lze ověřit, že :
Současná diagonalizovatelnost
Matice se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové , že jak , tak jsou diagonální. Obdobně endomorfismy jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.
Věta: Nechť je vektorový prostor a množina diagonalizovatelných endomorfismů na . Pak je současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.[1]
Externí odkazy
- ↑ a b c ŠMÍD, Dalibor. Lineární algebra pro fyziky. Verze z 15. května 2019. Dostupné také z: http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS1819