Vnitřní automorfismus

Vnitřní automorfismus je v abstraktní algebře automorfismus grupy, okruhu nebo algebry daný konjugací pevným prvek, zvaným konjugující prvek. Tyto vnitřní automorfismy tvoří podgrupu grupy automorfismů. Dále podíl grupy automorfismů s touto podgrupou dává vzniknout konceptu grupy vnějších automorfismů.

Definice

Je-li G grupa (nebo okruh) a g je prvek G (jestliže je G okruh, pak g musí být jednotka), pak se funkce

$\varphi _{g}:G\longrightarrow G$

$\varphi _{g}:x\mapsto g^{-1}xg$

nazývá (pravá) konjugace podle g (viz konjugační třída). Tato funkce je homomorfismus G: pro všechny $a,b\in G$ platí:

$\varphi _{g}(ab)=g^{-1}abg=(g^{-1}ag)(g^{-1}bg)=\varphi _{g}(a)\varphi _{g}(b),$

kde druhá rovnost je dána vložením identity mezi $a$ a $b.$ Dále má toto zobrazení levou i pravou inverzi, totiž $\varphi _{g^{-1}}.$ Tím pádem je $\varphi _{g}$ bijekcí, a tedy i izomorfismem z G na sebe sama, tj. automorfismem. Vnitřní automorfismus je jakýkoliv automorfismus, který vzniká z konjugace. ^[1]

V případě pravé konjugace se výraz $g^{-1}xg$ často značí pomocí mocniny: $x^{g}.$ Tento zápis se používá, protože složení konjugací je asociativní: $(x^{a})^{b}=x^{ab},$ pro všechna $a,b\in G.$ To ukazuje, že konjugace určuje pravé působení G na sebe samotné.

Vnitřní a vnější grupy automorfismů

Složení dvou vnitřních automorfismů je opět vnitřním automorfismem a pod touto operací tvoří soubor všech vnitřních automorfismů grupy $G$ grupu vnitřních automorfismů $G$ , značenou $Inn(G)$ .

$Inn(G)$ je normální podgrupa celé grupy automorfismů $Aut(G)$ . Grupa vnějších automorfismů, $Out(G)$ , je podílová grupa

Out(G) \equiv Aut(G)/Inn(G).

Grupa vnějších automorfismů v určitém smyslu měří, kolik automorfismů $G$ není vnitřních. Každý nevnitřní automorfismus dává vzniknout netriviálnímu prvku $Out(G)$ , ale různé nevnitřní automorfismy mohou dát stejný prvek $Out(G)$ .

Tvrzení, že konjugace $x$ podle $a$ ponechá $x$ nezměněno, je ekvivalentní k tvrzení, že $a$ a $x$ komutují:

a -1 xa = x \Leftrightarrow ax = xa

.

Existence a počet vnitřních automorfismů, které nejsou identitou, je tedy v určitém smyslu měrou selhání komutativního zákona v dané grupě (nebo okruhu).

Automorfismus grupy $G$ je vnitřní, právě když jej lze rozšířit na každou grupu obsahující $G$ . ^[2]

Propojením prvku $a \in G$ s vnitřním automorfismem $f (x) = x a$ v $Inn(G)$ , jak je uvedeno výše, se získá izomorfismus mezi podílovou grupou $G /Z(G)$ (kde $Z(G)$ je centrum $G$ ) a grupou vnitřních automorfismů:

G /Z(G) = Inn(G)

.

To je důsledek první věty o izomorfismu, neboť $Z(G)$ je souborem právě těch prvků $G$ , které jako odpovídající vnitřní automorfismus udávají identické zobrazení (konjugace nemá vliv).

Nevnitřní automorfismy konečných $p$ -grup

Výsledek jedné práce Wolfganga Gaschütze říká, že pokud je $G$ konečná neabelovská $p$ -grupa, pak má $G$ automorfismus řádu $p$ , který není vnitřní.

Zda má každá neabelovská $p$ -grupa $G$ automorfismus řádu $p$ , je otevřený problém. Tato otázka má kladnou odpověď, pokud má $G$ jednu z následujících vlastností:

$G$ je nilpotentní grupa třídy 2
$G$ je regulární $p$ -grupa
$G /Z(G)$ je mocná $p$ -grupa
centralizátor $C G$ centra $Z$ Frattiniho podgrupy $Φ$ v $G$ , tj. $C G \circ Z \circΦ(G)$ , není roven $Φ(G)$

Typy grup

Grupa vnitřních automorfismů grupy $G$ , $Inn(G)$ , je triviální (tj. sestává pouze z neutrálního prvku), právě když je $G$ abelovská.

Grupa $Inn(G)$ je cyklická, jen pokud je triviální.

Na opačném konci spektra mohou vnitřní automorfismy pokrýt celou grupu automorfismů; grupa, jejíž automorfismy jsou všechny vnitřní a jejíž centrum je triviální, se nazývá úplná. To je případ všech symetrických grup o $n$ prvcích, když $n$ není 2 nebo 6; když $n = 6$ , má symetrická grupa jedinečnou netriviální třídu vnějších automorfismů, a když $n = 2$ , je symetrická grupa, přestože nemá žádný netriviální vnější automorfismus, abelovská, díky čemuž má netriviální centrum, a to ji odpírá úplnost.

Je-li grupa vnitřních automorfismů perfektní grupy $G$ jednoduchá, pak se $G$ nazývá skorojednoduchá.

Lieovy algebry

Automorfismus Lieovy algebry $𝔊$ je nazýván vnitřním automorfismem, jestliže je tvaru $Ad g$ , kde $Ad$ je adjungované zobrazení a $g$ je prvek Lieovy grupy, jejíž Lieova algebra je $𝔊$ . Pojem vnitřního automorfismu je pro Lieovy algebry kompatibilní s tím grupovým v tom smyslu, že vnitřní automorfismus Lieovy grupy udává jedinečný vnitřní automorfismus odpovídající Lieovy algebry.

Rozšíření

Jestliže je $G$ grupa jednotek okruhu $A$ , pak může být vnitřní automorfismus nad $G$ rozšířen na zobrazení nad projektivní přímkou nad $A$ grupou jednotek maticového okruhu $M 2 (A)$ . Tímto způsobem lze rozšířit zejména vnitřní automorfismy klasických grup.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inner automorphism na anglické Wikipedii.

↑ S., Dummit, David. Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950-. Hoboken, NJ: Wiley, 2004. (3.). ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 S. 45.
↑ SCHUPP, Paul E. A characterization of inner automorphisms. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, 1987, roč. 101, čís. 2, s. 226–228. Dostupné online. DOI 10.2307/2045986.

Literatura

ABDOLLAHI, A. Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology. J. Algebra. 2010, roč. 323, s. 779–789. DOI 10.1016/j.jalgebra.2009.10.013. arXiv 0901.3182.
ABDOLLAHI, A. Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p. J. Algebra. 2007, roč. 312, s. 876–879. DOI 10.1016/j.jalgebra.2006.08.036. arXiv math/0608581.
DEACONESCU, M.; SILBERBERG, G. Noninner automorphisms of order p of finite p-groups. J. Algebra. 2002, roč. 250, s. 283–287. DOI 10.1006/jabr.2001.9093.
GASCHÜTZ, W. Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen. J. Algebra. 1966, roč. 4, s. 1–2. DOI 10.1016/0021-8693(66)90045-7.
LIEBECK, H. Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2. J. London Math. Soc.. 1965, roč. 40, s. 268–275. DOI 10.1112/jlms/s1-40.1.268.
REMESLENNIKOV, V.N. Encyclopedia of Mathematics [online]. Příprava vydání Hazewinkel, Michiel. Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. Kapitola I/i051230. ISBN 978-1-55608-010-4.
WEISSTEIN, Eric W. Inner Automorphism [online]. MathWorld – A Wolfram Web Resource [cit. 2019-06-23]. Dostupné online. (anglicky)

[1] S., Dummit, David. Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950-. Hoboken, NJ: Wiley, 2004. (3.). ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 S. 45.

[2] SCHUPP, Paul E. A characterization of inner automorphisms. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, 1987, roč. 101, čís. 2, s. 226–228. Dostupné online. DOI 10.2307/2045986.

[1]

[2]