Faktorová grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Faktorgrupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Rozklady podle podgrupy[editovat | editovat zdroj]

  • Levým rozkladem grupy podle podgrupy je množina

kde množiny se nazývají levé třídy rozkladu.

  • Pravým rozkladem grupy podle podgrupy je množina

kde množiny pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa[editovat | editovat zdroj]

Podgrupa grupy je normální, značíme , pokud pro všechny platí .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Faktorgrupa[editovat | editovat zdroj]

Jestliže je normální podgrupa grupy (symbolicky: ), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa podle normální podgrupy a značí se .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li libovolná grupa s násobením, pak a jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí a .
  • Množina všech násobků čísla je normální podgrupou aditivní grupy , faktorová grupa je isomorfní s grupou .

Hlavní věty o faktorových grupách[editovat | editovat zdroj]

Nechť je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a definuje izomorfizmus grup

Nechť . Pak ke každému homomorfismu grup, pro který , existuje jediný homomorfismus takový, že (kde je projekce na ).

Nechť N je normální podgrupa H a H je normální podgrupa G. Pak N je normální podgrupa G, H/N je normální podgrupa G/N a platí

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. (čeština)