Faktoralgebra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence na nosné množině algebry , nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence .

Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je algebra ekvivalence na se nazývá kongruence algebry pokud:

  • Pro každou operaci a platí

Operace faktoralgebry pak definujeme na blocích ekvivalence takto:

  • Pro každé a je

Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra.
  • Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry.
  • Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme relaci v grupě celých čísel . Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:

  • pro operaci sčítání : platí
  • pro operaci inverze : platí
  • konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek (je splněno vždy).

Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti je buď sudé, nebo liché a stejně tak .

Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako , neboť je reprezentantem sudých čísel a je reprezentantem čísel lichých.


Mějme grupu permutací na prvcích a relaci ekvivalence . Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko a nulovým prvkem, je identita.)

Věta o izomorfismu[editovat | editovat zdroj]

Je-li homomorfismus algeber, pak platí .

Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry podle jádra homomorfismu je isomorfní s obrazem homomorfismu .

Myšlenka důkazu:

  • Je li homomorfismus pak jádro zobrazení je kongruence algebry .
  • Je li homomorfismus a kongruence na taková, že , pak je zobrazení je homomorfismus.
  • Pak je prostý a na a je tedy izomorfismem.


Každá kongruence na algebře je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z , tedy .

Naopak každé jádro homomorfismu je kongruence .

Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy pro .

A naopak projekce je homomorfismem pro kongruenci na algebře .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek a lichá čísla na prvek , příslušné operace by byly zadefinovány takto:

  • Operace
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
  • Operace

-0 = 0, -1 = 1

  • Operace

Konstanta 0 se zobrazí na 0.

Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

STANOVSKÝ, David. Praha : matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. (čeština)