Faktorokruh

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu.

Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel).

Vytvoření faktorokruhu[editovat | editovat zdroj]

Nechť je dán okruh a ideál tohoto okruhu. Pak je možné na definovat relaci následovně:

tehdy a jen tehdy když

Poměrně přímočaře lze dokázat, že tato relace je nejen ekvivalencí, ale dokonce i kongruencí – s třídami této ekvivalence je tedy možné počítat jako s prvky okruhu. Třída obsahující prvek bývá značena . Třídy ekvivalence spolu s operacemi:

tvoří okruh, ten se nazývá faktorovým okruhem neboli faktorokruhem modulo a obvykle se značí . Z původního okruhu existuje vždy zobrazení na okruh definované předpisem . Jedná se o okruhový homomorfismus, říká se mu přirozený homomorfismus a je surjektivní. Jeho jádrem je právě ideál .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li komutativní okruh, je i komutativní.
  • Je-li komutativní okruh a je maximální ideál, pak je tělesem.
  • Je-li komutativní okruh a je prvoideálem, pak je oborem integrity.
  • Ideály faktorokruhu odpovídají ideálům okruhu obsahujícím

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Faktorokruh z nevlastních ideálů: je isomorfní samotnému , zatímco je isomorfní nulovému okruhu.
  • V okruhu celých čísel je podmnožina sudých čísel ideálem, který můžeme značit . Faktorokruh má jen dva prvky, (na který přirozený homomorfismus zobrazuje sudá čísla) a (na který přirozený homomorfismus zobrazuje lichá čísla). Lze snadno ověřit, že tento okruh je konečným tělesem, konkrétně je izomorfní dvouprvkovému tělesu .
  • Obecně platí, že prvotělesa konečných těles, tedy tělesa známé z modulární aritmetiky a někdy značená , jsou vlastně faktorokruhy
  • Pro okruh mnohočlenů , tedy okruh mnohočlenů s koeficienty z reálných čísel, a k němu ideál , tedy ideál tvořený násobky mnohočlenu , je vzniklý faktorový okruh izomorfní tělesu komplexních čísel.
  • Předchozí případ lze zobecnit: Faktorokruhy lze používat k vytvoření tělesových rozšíření, přesněji k vytvoření kořenových nadtěles vzhledem k danému tělesu a mnohočlenu, který je v něm ireducibilní.
  • Speciálním případem konstrukce nadtěles jako faktorokruhů je konstrukce konečných těles: Konečné těleso lze zkonstruovat jako faktorokruh , kde je mnohočlen stupně , který je nad ireducibilní.