Cyklická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, konkrétně v teorii grup, se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována operováním s jedním jediným prvkem. Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel modulo 5 se sčítáním \mathbb Z_5 (+) má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

Geometrickým názorným příkladem cyklických grup jsou grupy zákrytových otočení pravidelných mnohoúhelníků (s operací skládání zobrazení). Např. u pětiúhelníka jsou generátorem otočení o 72°, 144°, 216° nebo 288°. Je izomorfní s grupou \mathbb Z_5 (+).

Definice[editovat | editovat zdroj]

Grupa G je cyklická právě tehdy, když existuje g∈G takový, že G={gk|k∈Z}. Takovému jejímu prvku se říká generátor.

Ekvivalentní definice: G je cyklická, když existuje g∈G a jediná podgrupa G obsahující toto g je celé G (nejsou žádné "menší" podgrupy obsahující g).

Základní vlastnosti cyklických grup[editovat | editovat zdroj]

Každá cyklická grupa je (homomorfním) obrazem grupy celých čísel, takže je nejvýše spočetná.

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť všechny celé mocniny generátoru komutují. Toto a že je vůbec lze zavést je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Pokud dvě cyklické grupy mají stejný počet prvků, pak jsou již izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

Příklady cyklických grup[editovat | editovat zdroj]

Každá grupa

(\mathbb Z_n,+,-,0),

kde operace +, - jsou brány modulo n, je cyklická.

Reprezentativním příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

(\mathbb Z,+,-,0).

Tato grupa má dva generátory, 1 nebo -1. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Grupy rotací pravidelných n-mnohoúhelníků s operací skládání zobrazení jsou izomorfní s \mathbb Z_n (+).

Komplexní n-té odmocniny z jedné tvoří cyklickou grupu řádu n.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Věty o cyklických grupách[editovat | editovat zdroj]

  • Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad komutativním tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.
  • Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě \varphi(n) různých generátorů, kde \varphi(n) je Eulerova funkce.
  • Všechny aditivní grupy (\mathbb Z_n,+,-,0) jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek (\mathbb Z_n^*,*,^{-1},1) jsou cyklické jen v následujících případech: n=2, n=4, n=p^k, n=2p^k, p liché prvočíslo a k přirozené číslo.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Drápal, A.: Úvod do teorie grup
  • Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory