Řádek 118:
Řádek 118:
{{Link GA|en}}
{{Link GA|en}}
[[ar:متسلسلة تايلور وماكلورين]]
[[bar:Taylorreihe]]
[[bg:Ред на Тейлър]]
[[bn:টেইলর ধারা]]
[[bs:Taylorov red]]
[[ca:Sèrie de Taylor]]
[[da:Taylorpolynomium]]
[[de:Taylorreihe]]
[[el:Σειρά Taylor]]
[[en:Taylor series]]
[[eo:Serio de Taylor]]
[[es:Serie de Taylor]]
[[et:Taylori valem]]
[[eu:Taylor serie]]
[[fa:بسط تیلور]]
[[fi:Taylorin sarja]]
[[fr:Série de Taylor]]
[[gl:Serie de Taylor]]
[[he:טור טיילור]]
[[hu:Taylor-sor]]
[[id:Deret Taylor]]
[[is:Taylorröð]]
[[it:Serie di Taylor]]
[[ja:テイラー展開]]
[[kk:Тейлор қатары]]
[[ko:테일러 급수]]
[[lt:Teiloro eilutė]]
[[ms:Siri Taylor]]
[[nl:Taylorreeks]]
[[nn:Taylorrekkje]]
[[no:Taylorrekke]]
[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]
[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]
[[pms:Serie ëd Taylor]]
[[pt:Série de Taylor]]
[[ro:Serie Taylor]]
[[ru:Ряд Тейлора]]
[[si:ටේලර් ශ්රේණිය]]
[[simple:Taylor series]]
[[sk:Taylorov rad]]
[[sl:Taylorjeva vrsta]]
[[sr:Тејлоров полином]]
[[sv:Taylorserie]]
[[tr:Taylor serisi]]
[[uk:Ряд Тейлора]]
[[vi:Chuỗi Taylor]]
[[zh:泰勒级数]]
Taylorův rozvoj stupně 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 a 13 funkce sin(x) . Sin(x) je vyznačen černě.
Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada .
Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj .
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom . Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce , která má v daném bodě derivaci , pomocí polynomu , jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi , který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym .
Definice
V případě existence všech derivací funkce
f
{\displaystyle f}
v bodě
a
{\displaystyle a}
lze Taylorovu řadu zapsat jako
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
(
3
)
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
.
.
.
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
Má-li funkce
f
{\displaystyle f}
v bodě
a
{\displaystyle a}
derivace až do řádu
n
{\displaystyle n}
, pak Taylorův polynom řádu
n
{\displaystyle n}
funkce
f
{\displaystyle f}
v bodě
a
{\displaystyle a}
je polynom:
T
n
f
,
a
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle T_{n}^{f,a}(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
,
kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn.
f
(
0
)
=
f
{\displaystyle f^{(0)}=f}
.
Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého
n
{\displaystyle n}
všechny vyšší derivace nulové .
Taylorova věta
Rozvoj funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
, která má v okolí bodu
a
{\displaystyle a}
derivace do
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-tého řádu je obsahem Taylorovy věty , která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu
a
{\displaystyle a}
vyjádřit jako
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}{(x-a)}^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+R_{n+1}^{f,a}(x)}
.
Nechť je funkce
φ
{\displaystyle \varphi }
spojitá na okolí bodu
a
{\displaystyle a}
a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje
c
{\displaystyle c}
z tohoto okolí tak, že
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
1
n
!
φ
(
x
)
−
φ
(
a
)
φ
′
(
c
)
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {\varphi (x)-\varphi (a)}{\varphi ^{\prime }(c)}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}}
.
Speciálně lze zbytek
R
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}}
vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}{(x-a)}^{n+1}}
(tzv. Lagrangeův tvar zbytku , tedy
φ
(
t
)
=
(
x
−
t
)
n
+
1
{\displaystyle \varphi (t)=(x-t)^{n+1}}
)
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
1
n
!
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x
−
c
)
n
(
x
−
a
)
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}(x-a)}
(tzv. Cauchyův tvar zbytku , tedy
φ
(
t
)
=
t
{\displaystyle \varphi (t)=t}
)
Taylorova řada funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
konverguje v bodě
x
{\displaystyle x}
k funkční hodnotě
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
právě když
lim
n
→
∞
R
n
f
,
a
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}^{f,a}(x)=0}
Taylorova řada funkce více proměnných
Pro funkci
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
lze v okolí bodu
A
=
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
{\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}
vyjádřit Taylorovu větu vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
+
d
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
1
!
+
d
2
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
2
!
+
.
.
.
+
d
n
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
n
!
+
R
n
+
1
f
,
a
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(a_{1},a_{2},...,a_{n})+{\frac {\mathrm {d} f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{1!}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{2!}}+...+{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{n!}}+R_{n+1}^{f,a}}
,
kde funkci
R
n
+
1
f
,
a
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}}
, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n -tým členem, lze vyjádřit ve tvaru
R
n
+
1
f
,
a
=
d
n
+
1
f
(
a
1
+
Θ
(
x
1
−
a
1
)
,
a
2
+
Θ
(
x
2
−
a
2
)
,
.
.
.
,
a
n
+
Θ
(
x
n
−
a
n
)
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(a_{1}+\Theta (x_{1}-a_{1}),a_{2}+\Theta (x_{2}-a_{2}),...,a_{n}+\Theta (x_{n}-a_{n})}{(n+1)!}}}
pro
Θ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \Theta \in (0,1)}
.
Maclaurinova řada
Pro
a
=
0
{\displaystyle a=0}
přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu , tedy
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
Příklady Taylorova rozvoje
aproximovanou hodnotu funkce
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
v blízkosti bodu
x
=
0
{\displaystyle x=0}
určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1
Taylorův rozvoj:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
i
=
0
∞
x
i
i
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
aproximovaná hodnota funkce:
e
x
≈
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
+
x
n
(
n
)
!
.
{\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{(n)!}}.}
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
(
1
+
x
)
r
=
1
+
(
r
1
)
x
+
(
r
2
)
x
2
+
(
r
3
)
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
r
n
)
x
n
pro
r
∈
R
,
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {(1+x)}^{r}=1+{r \choose 1}x+{r \choose 2}x^{2}+{r \choose 3}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{r \choose n}x^{n}\;{\mbox{ pro }}r\in \mathbb {R} ,x\in (-1,1)}
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
x
5
5
−
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
pro
x
∈
(
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1\rangle }
a
x
=
1
+
x
ln
a
1
!
+
x
2
ln
2
a
2
!
+
x
3
ln
3
a
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
x
ln
a
)
n
n
!
pro
a
>
0
,
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle a^{x}=1+{\frac {x\ln a}{1!}}+{\frac {x^{2}\ln ^{2}a}{2!}}+{\frac {x^{3}\ln ^{3}a}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(x\ln a)}^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}a>0,x\in (-\infty ,\infty )}
ln
1
+
x
1
−
x
=
2
[
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
]
=
2
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)}
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
⋯
pro
x
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
cotg
x
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
⋯
pro
x
∈
(
0
,
π
)
{\displaystyle \operatorname {cotg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (0,\pi )}
arcsin
x
=
x
+
1
2
x
3
3
+
1
2
3
4
x
5
5
+
1
2
3
4
5
6
x
7
7
+
⋯
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsin} \,x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
arccos
x
=
π
2
−
x
−
1
2
x
3
3
−
1
2
3
4
x
5
5
−
1
2
3
4
5
6
x
7
7
+
⋯
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {arccos} \,x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈<
−
1
,
1
>
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in <-1,1>}
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
arctgh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {arctgh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
Odkazy
Související články
Literatura
Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I. . Prometheus, Praha, 2003 , 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
ČVUT, Mgr.Milan Krbálek,Ph.D. : Matematická analýza III . Nakladatelství ČVUT, Praha 2008 , 2. vydání. ISBN
ČVUT, doc. RNDr. Josef Tkadlec,CSc. : Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné . Nakladatelství ČVUT, Praha 2004 , 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
Externí odkazy
Šablona:Link GA