Hamiltonovská formulace mechaniky

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že je možné zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který je v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská, ze které původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

Formulace

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru. Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka. Pohyb mechanických systémů lze pak chápat jako kanonickou transformaci.

Hamiltonovy rovnice

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme

$\mathrm {d} H=\sum _{i}\left({\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}\mathrm {d} p_{j}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}\mathrm {d} t=$

$=\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}-{\dot {p}}_{i}\mathrm {d} q_{i}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$,

kde $L$ je Lagrangeova funkce, $q_{i}$ jsou zobecněné souřadnice a $p_{i}$ jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy

${\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)}_{p,q}=-{\left({\frac {\partial L}{\partial t}}\right)}_{q,{\dot {q}}}$

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s $n$ stupni volnosti soustavu $2n$ diferenciálních rovnic prvního řádu pro $2n$ neznámých funkcí času $q_{i}(t),p_{i}(t),i=1,2,...,n$. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.

Příklad

Příkladem Hamiltonových rovnic mohou být rovnice pro jednorozměrný pohyb volného hmotného bodu. Vyjdeme z Lagrangiánu $L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}$.

Zobecněná hybnost je pak $p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {1}{2}}m\cdot 2{\dot {q}}=m{\dot {q}}=mv$. Tedy inverzí získáváme (později musíme hamiltonián vyjádřit v proměnných $q$ a $p$, nikoli ${\dot {q}}$) ${\dot {q}}={\frac {p}{m}}$.

Dosazením do definice hamiltoniánu dostáváme

$H=p{\dot {q}}-L={\frac {p^{2}}{m}}-{\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}={\frac {p^{2}}{m}}-{\frac {1}{2}}m{\frac {p^{2}}{m^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {p}{m}}={\frac {p^{2}}{2m}}$.

Nakonec dosadíme do Hamiltonových kanonických rovnic, které mají tvar

${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}$ a

${\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=0$.

Tedy vidíme, že rychlost částice ($v$, neboli ${\dot {q}}$) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy že částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Související články

• Teoretická mechanika
• Hamiltonova funkce
• Newtonova mechanika
• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Hamiltonova-Jacobiho rovnice