Hamiltonovská formulace mechaniky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že lze zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který bývá v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská formulace, z níž původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru.

Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové transformace se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka.

Hamiltonovy rovnice[editovat | editovat zdroj]

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme

,

kde je Lagrangeova funkce, jsou zobecněné souřadnice a jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s stupni volnosti soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu pro neznámých funkcí času . Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Příkladem Hamiltonových rovnic jsou rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice (hmotného bodu).

Z lagrangiánu vyplývá zobecněná hybnost , odtud .

Dosazením do definice hamiltoniánu:

.

Dosazením do Hamiltonových kanonických rovnic:

a
.

To znamená, že rychlost částice (, neboli ) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Související články[editovat | editovat zdroj]