Lagrangeova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

kde jsou zobecněné souřadnice, jsou zobecněné rychlosti, je celková kinetická energie, je potenciální energie a je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce , tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru . Pak:

[pozn. 1]


Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

,

kde je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu[editovat | editovat zdroj]

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

Jednoduché příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Lagrangián částice s rychlostí v konzervativním poli s potenciální energií
  • Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s ):

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha : Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272.  
  • LEECH, J. W.. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha : SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24-26.  

Související články[editovat | editovat zdroj]