Poissonova závorka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi dvě funkce a . Poissonova závorka má pak tvar

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

Dále platí

Platí také tzv. Jacobiho identita


Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

Fyzikální aplikace[editovat | editovat zdroj]

Rovnice pohybu[editovat | editovat zdroj]

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

,

Kde je Hamiltonova funkce. Funkce je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

V případě, že nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar


Zvolíme-li za funkci Hamiltonovu funkci , pak podle bude platit

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka .

Fundamentální Poissonova závorka[editovat | editovat zdroj]

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

kde je Kroneckerovo delta.

Související články[editovat | editovat zdroj]