Integrál pohybu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Integrál pohybu je veličina, která nabývá konstantní hodnoty v každém čase pro každou trajektorii tělesa, která řeší pohybové rovnice. Například, v izolovaném systému je integrálem pohybu celková mechanická energie či hybnost, platí proto známé zákony jako zákon zachování mechanické energie, zákon zachování hybnosti či zákon zachování momentu hybnosti.

Integrály pohybu často představují jednodušší způsob, jak explicitně vyjádřit pohyb tělesa, než pomocí přímého řešení pohybových rovnic. V případě, že je obtížné nebo zcela nemožné nalézt řešení systému, integrály pohybu umožňují určit nutné podmínky, které musí tělesa splňovat. Příkladem takového užití integrálů pohybu je Jacobiho integrál v problému tří těles.

Lagrangeův formalismus[editovat | editovat zdroj]

Je-li pohyb tělesa popsán lagrangiánem , pak lze najít integrály pohybu dvěma způsoby

1. Pokud nezávisí na některé zobecněné souřadnici , pak je výraz integrálem pohybu.

Tvrzení plyne přímo Lagrangeových rovnic. Pokud nezávisí na , je a příslušná rovnice se redukuje na

Integrací přes čas dostáváme, že je konstantní.

2. Pokud nezávisí explicitně na čase, pak je tzv. zobecněná energie , definovaná vztahem

integrálem pohybu. Pokud jsou navíc vazby systému holonomní a skleronomní (nebo systém žádné vazby nemá), je zobecněná energie rovna celkové mechanické energii

Hamiltonův formalismus[editovat | editovat zdroj]

Pokud je časový vývoj systému popsán hamiltoniánem , pak platí

1. Pokud nezávisí explicitně na čase, je sám integrálem pohybu. Jde o analogii zobecněné energie v Lagrangeově formalismu.

2. Pokud jsou funkce a integrály pohybu, pak i příslušná Poissonova závorka

je integrálem pohybu.

3. Je-li integrál pohybu, pak platí