Kosinová věta

Úhly v $\triangle ABC$ – α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), a γ (u vrcholu C) jsou proti stranám a, b, c.

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran. Podle kosinové věty pro každý rovinný $\triangle ABC$ s vnitřními úhly $\alpha ,\beta ,\gamma$ a stranami $a,b,c$ platí:

${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha \\b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cdot \cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma \end{aligned}}$

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta, která však platí pouze pro pravoúhlý trojúhelník. Protože pro pravý úhel je $\cos 90^{\circ }=0$, tak je třetí člen na pravé straně rovnice nulový a z kosinové věty zbyde jen zkrácený zápis odpovídající Pythagorově větě: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ (a podobně pro zbývající dvě varianty, kde je pravý úhel u jiného vrcholu). Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.

Kosinová věta je používána k výpočtu vnitřních úhlů obecného trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran $a,b,c$ nebo pro výpočet, kdy jsou známy dvě strany a úhel, který tyto strany svírají.

Historie

Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII. Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:

Úloha XII.
V trojúhelnících tupoúhlých čtverec strany proti úhlu tupému větší jest nežli čtverce stran tupý úhel svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu tupého, na něž dopadá kolmice, a vnější úsečkou při úhlu tupém, již kolmice omezuje.

Eukleidés, Eukleidovy Základy, překlad František Servít.

Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý $\triangle ABC$, jenž má tupý úhel $\angle BAC$ a z vrcholu $B$ je vedena kolmice $CD$ na prodlouženou stranu $BA$, takto:

$|BC|^{2}=|BA|^{2}+|AC|^{2}+2|BA||AD|$

Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Jamshid al-Kashi první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.

V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany $a$ trojúhelníku $ABC$ je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu $\alpha$ (ostrý, pravý a tupý):

• Je-li $\alpha$ ostrý a bod $P$ patou výšky $v_{c}$, pak bod $P$ náleží straně $c$ (pokud ne, prohodíme označení bodů $B$ a $C$). Vzdálenost paty $P$ od bodu $A$ označíme $u$. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c-u)^{2}$.

Protože dále platí, že $u=b\cos \alpha$ a $v_{c}=b\sin \alpha$, lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}$

$a^{2}=b^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot \cos ^{2}\alpha$

$a^{2}=b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

• Je-li $\alpha$ pravý, pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

Protože je $\alpha =\pi /2$, je $\cos \alpha =0$, a pak

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-0$, pak tedy

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

• Je-li $\alpha$ tupý a bod $P$ patou výšky $v_{c}$, pak bod $P$ leží mimo $c$. Vzdálenost paty $P$ od bodu $A$ označíme $u$. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c+u)^{2}$.

Protože dále platí, že $u=b\cos(\pi -\alpha )$ a $v_{c}=b\sin(\pi -\alpha )$ a dále $\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ a $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(-b\cdot \cos \alpha +c)^{2}$.

Což je totéž, jako v případě, že je úhel $\alpha$ ostrý a tedy

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha \\\cos b&=\cos a\cos c+\sin a\sin c\cos \beta \\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \end{aligned}}$

Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

${\begin{aligned}\cos e&=\cos(90^{\circ }-\phi _{1})\cos(90^{\circ }-\phi _{2})+\sin(90^{\circ }-\phi _{1})\sin(90^{\circ }-\phi _{2})\cos \Delta \lambda \\&=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \end{aligned}}$

kde

• $\phi _{1},\phi _{2}$ jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
• $\Delta \lambda$ je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
• $e$ je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako $d=e\cdot r$, je-li e v úhlové míře, resp. $d={\frac {2\pi e}{360}}\cdot r$, je-li $e$ ve stupních.

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Sférická trigonometrie
• Kosinová pravidla

Odkazy

Související články

• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Triangulace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kosinová věta na Wikimedia Commons

Portály: Matematika