Gödelovy věty o neúplnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě důležité matematické věty, které mají zcela výsadní postavení v celé moderní matematické logice. Důležitou roli však hrají v celé matematice, zejména pak v teorii modelů, aritmetice a v teorii množin. Dokázal je roku 1931 rakouský logik Kurt Gödel.

Gödelovy věty jsou velmi významné i z hlediska filosofie matematiky, stanovují totiž hranice axiomatické metody v matematice. Plyne z nich například neproveditelnost takzvaného Hilbertova programu, který si kladl za cíl vytvořit bezespornou, úplnou teorii, s efektivně zadatelnou množinou axiomů, v níž by bylo možné interpretovat aritmetiku přirozených čísel.

Klasické znění[editovat | editovat zdroj]

Následující věty jsou formulovány velmi podobně tomu, jak je původně dokázal Kurt Gödel. Originální Gödelova terminologie i notace jsou ovšem v důsledku bouřlivého rozvoje matematické logiky následujícím po jeho objevu pro současného čtenáře téměř neproniknutelné. Proto jsou zde uvedené věty přeloženy do srozumitelnějšího jazyka moderní matematiky. Tímto překladem došlo sice k mírnému zesílení těchto vět, ne však k zesílení podstatnému. Pozdější zobecnění Gödelových vět jsou uvedena v dalších odstavcích.

První Gödelova věta o neúplnosti[editovat | editovat zdroj]

Znění[editovat | editovat zdroj]

Nechť T je rekurzivně axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky obsahující Robinsonovu aritmetiku, taková, že struktura přirozených čísel je jejím modelem. Pak existuje sentence , která není v T dokazatelná ani vyvratitelná.

Formule z této věty má svůj vlastní název – Gödelova formule.

Význam[editovat | editovat zdroj]

Označme na chvíli za rozumnou takovou axiomatickou teorii schopnou hovořit o přirozených číslech, jejich sčítání a násobení, v níž:

  1. není možné dokázat cokoli (např. nesmysly jako ), a zároveň takovou, že
  2. jsme schopni o každém tvrzení rozhodnout (v konečném čase), zda je, či není axiomem této teorie.

Každý jistě uzná, že oba tyto požadavky jsou skutečně „rozumné“ – jinak bychom totiž buďto mohli dokázat jakékoli nesmysly nebo bychom naopak ani nevěděli, jaké předpoklady můžeme v důkazech využít.

To, co jsme právě nazvali rozumná teorie, je jen poněkud méně přesně přeříkaný matematický termín bezesporná rekurzivně axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky. Pokud navíc v takové rozumné teorii budou dokazatelné základní vlastnosti přirozených čísel (jako například ), znamená to, že tato teorie obsahuje Robinsonovu aritmetiku.

To, že struktura přirozených čísel je modelem této teorie, znamená, že nic z toho, co v naší teorii můžeme dokázat o přirozených číslech, neodporuje tomu „jak to skutečně je“.

Tedy tvrzení „teorie obsahuje Robinsonovu aritmetiku a přirozená čísla jsou jejím modelem“ znamená, že tato teorie skutečně hovoří o těch přirozených číslech, které známe, a ne o nějakých podivných jiných.

První Gödelova věta pak říká, že kdykoli máme rozumnou teorii hovořící o našich přirozených číslech, pak tato teorie není dostatečně silná, aby byla schopná dokázat o přirozených číslech vše. Tedy ideální teorie požadovaná v Hilbertově programu neexistuje.

Druhá Gödelova věta o neúplnosti[editovat | editovat zdroj]

Znění[editovat | editovat zdroj]

V Peanově aritmetice není dokazatelná ani vyvratitelná sentence , kde je formule, která ve struktuře přirozených čísel vyjadřuje skutečnost, že Peanova aritmetika je bezesporná.

Význam[editovat | editovat zdroj]

První Gödelova věta říká, že v žádné rozumné teorii hovořící o přirozených číslech není dokazatelné vše. Druhá Gödelova věta dává konkrétní příklad takového nedokazatelného tvrzení pro Peanovu aritmetiku – je jím věta „Peanova aritmetika je bezesporná.“

Zobecnění a zesílení Gödelových vět[editovat | editovat zdroj]

Klasifikace složitosti Gödelovy formule[editovat | editovat zdroj]

První Gödelovu větu lze zesílit tvrzením, že tam definovaná Gödelova formule je formule (viz Aritmetická hierarchie). Z tohoto zesílení tedy plyne, že v teorii T splňující předpoklady první Gödelovy věty existuje nezávislá formule nejnižší možné složitosti ( je a tedy je ). Každá formule je totiž v takové teorii již dokazatelná nebo vyvratitelná (podle toho, zda ona nebo její negace platí v přirozených číslech – to plyne z věty o sigma úplnosti Robinsonovy aritmetiky).

Navíc lze dokázat, že Gödelova formule platí ve struktuře přirozených čísel.

Rosserova věta[editovat | editovat zdroj]

Předpoklad o tom, že struktura přirozených čísel je modelem T je možné v První Gödelově větě vynechat. To říká Rosserova věta:

Nechť T je bezesporná rekurzivně axiomatizovatelná teorie v jazyce aritmetiky obsahující Robinsonovu aritmetiku. Pak existuje sentence , která není v T dokazatelná ani vyvratitelná.

Formule z této věty má svůj vlastní název – Rosserova formule.

Zobecněná věta o neúplnosti[editovat | editovat zdroj]

Druhou Gödelovu větu lze zobecnit následujícím způsobem:

Nechť T je bezesporná rekurzivně axiomatizovatelná teorie a existuje interpretace teorie (viz teorie IΣ1) v T (k tomu stačí existence interpretace Peanovy aritmetiky v T). Pak v teorii T je nezávislá formule vyjadřující (formální) bezespornost teorie T.

Z takto zobecněné věty plyne například neúplnost libovolného rekurzivního rozšíření Zermelo-Fraenkelovy (a tedy též Gödel-Bernaysovy) teorie množin. Všechny konečné ordinály totiž tvoří obor interpretace Peanovy aritmetiky v teorii množin.

Nerozhodnutelnost bezesporných rozšíření Robinsonovy aritmetiky[editovat | editovat zdroj]

Pomocí metod teorie vyčíslitelnosti lze dokázat tvrzení, jehož snadným důsledkem je první Gödelova věta. Toto tvrzení zní následovně:

Každé bezesporné rozšíření Robinsonovy aritmetiky je nerozhodnutelné (dokonce rekurzivně neoddělitelné). Je-li tedy rekurzivně axiomatizovatelné, je neúplné.

Toto tvrzení má svůj vlastní význam a neslouží pouze k pohodlnému důkazu první Gödelovy věty. Plyne z něj totiž například nerozhodnutelnost teorií okruhů, komutativních okruhů, oborů integrity, těles a těles charakteristiky nula.

Zajímavé příklady nezávislých tvrzení[editovat | editovat zdroj]

V teorii množin[editovat | editovat zdroj]

V teorii množin existuje velmi mnoho nezávislých tvrzení. Konkrétně v Zermelo-Fraenkelově axiomatizaci to jsou například následující:

V Peanově aritmetice[editovat | editovat zdroj]

Po důkazu Gödelových vět se matematici snažili nalézt příklady konkrétních zajímavých matematických tvrzení, která jsou nedokazatelná v Peanově aritmetice. Ukázalo se, že jde o velmi obtížný problém. Díky práci L. Kirbiho a J. Parise je známo několik málo takových tvrzení. Jsou to:

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]