Elektrický potenciál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

,

kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.


Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

,

kde je polohový vektor bodu prostoru a je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade .


Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje lze vyjádřit vztahem

,

kde je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.


Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

,

kde je plošná hustota elektrického náboje.


Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

,

kde je lineární hustota elektrického náboje.

Poissonova rovnice[editovat | editovat zdroj]

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme

Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor , lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice

Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.

Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. , zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy bodových nábojů , jejichž polohové vektory jsou .

Potenciál jednoho z bodových nábojů ze soustavy nábojů vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. , potom lze podle předchozího vztahu psát

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.


Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. , se nazývá ekvipotenciální plocha.


Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu , tzn.

,

kde leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory a jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Související články[editovat | editovat zdroj]