Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice ) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému . Obecné vyjádření má tvar
d
d
t
⟨
A
^
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
A
^
,
H
^
]
⟩
+
⟨
∂
A
^
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }
,
kde
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
je nějaký kvantově-mechanický operátor a
⟨
A
^
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle }
je jeho střední hodnota . Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi .
Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky , kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka .
Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu
Φ
{\displaystyle \Phi }
. Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
platí
d
d
t
⟨
A
^
⟩
=
d
d
t
∫
Φ
⋆
A
^
Φ
d
x
3
=
∫
(
∂
Φ
⋆
∂
t
)
A
^
Φ
d
x
3
+
∫
Φ
⋆
(
∂
A
^
∂
t
)
Φ
d
x
3
+
∫
Φ
⋆
A
^
(
∂
Φ
∂
t
)
d
x
3
=
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}=}
=
∫
(
∂
Φ
⋆
∂
t
)
A
^
Φ
d
x
3
+
⟨
∂
A
^
∂
t
⟩
+
∫
Φ
⋆
A
^
(
∂
Φ
∂
t
)
d
x
3
{\displaystyle =\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}}
,
přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová . V takovém případě je možné zanedbat člen
⟨
∂
A
^
∂
t
⟩
{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }
.
Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že
∂
Φ
∂
t
=
1
i
ℏ
H
^
Φ
{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}{\hat {H}}\Phi }
a také
∂
Φ
⋆
∂
t
=
−
1
i
ℏ
Φ
⋆
H
^
⋆
=
−
1
i
ℏ
Φ
⋆
H
^
{\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}^{\star }={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}}
Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor , bude platit
H
^
=
H
^
⋆
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\star }}
. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme
d
d
t
⟨
A
^
⟩
=
1
i
ℏ
∫
Φ
⋆
(
A
^
H
^
−
H
^
A
^
)
Φ
d
x
3
+
⟨
∂
A
^
∂
t
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
A
^
,
H
^
]
⟩
+
⟨
∂
A
^
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int \Phi ^{\star }({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }
Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako
H
^
(
x
,
p
,
t
)
=
p
2
2
m
+
V
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\hat {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}
,
kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p . Z Ehrenfestova teorému dostaneme
d
d
t
⟨
p
^
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
p
^
,
H
^
]
⟩
+
⟨
∂
p
^
∂
t
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
p
^
,
V
(
x
,
t
)
]
⟩
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \left[{\hat {p}},V(x,t)\right]\rangle }
,
kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako
p
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle {\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \nabla }
, z čehož plyne
∂
p
^
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}=0}
. Tedy
d
d
t
⟨
p
^
⟩
=
∫
Φ
⋆
V
(
x
,
t
)
∇
Φ
d
x
3
−
∫
Φ
⋆
∇
(
V
(
x
,
t
)
Φ
)
d
x
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\int \Phi ^{\star }V(x,t)\nabla \Phi ~\mathrm {d} x^{3}-\int \Phi ^{\star }\nabla (V(x,t)\Phi )~\mathrm {d} x^{3}}
Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme
d
d
t
⟨
p
^
⟩
=
⟨
−
∇
V
(
x
,
t
)
⟩
=
⟨
F
^
⟩
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle {\hat {F}}\rangle }
.
Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona . Operátor
F
^
{\displaystyle {\hat {F}}}
lze pak chápat jako operátor síly .
Jedná se o příklad principu korespondence .
Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako
d
d
t
⟨
x
^
⟩
=
⟨
d
x
^
d
t
⟩
=
⟨
p
^
⟩
m
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left\langle {\hat {x}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\mathrm {d} {\hat {x}}}{\mathrm {d} t}}\right\rangle ={\frac {\left\langle {\hat {p}}\right\rangle }{m}}}
,
kde
m
{\displaystyle m}
je hmotnost částice.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.