Ehrenfestovy teorémy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

,

kde je nějaký kvantově-mechanický operátor a je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru platí

,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen .

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

a také

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako , z čehož plyne . Tedy

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

.

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

,

kde je hmotnost částice.

Zdroj[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]