Ehrenfestovy teorémy

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$,

kde ${\hat {A}}$$\hat{A}$ je nějaký kvantově-mechanický operátor a $\langle {\hat {A}}\rangle$$\langle {\hat {A}}\rangle$ je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu $\Phi$$\Phi$. Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru ${\hat {A}}$$\hat{A}$ platí

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}=$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}=$

$=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}$$=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}$,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor ${\hat {A}}$$\hat{A}$ časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen $\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$$\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$.

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}{\hat {H}}\Phi$${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}{\hat {H}}\Phi$

a také

${\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}^{\star }={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}$${\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}^{\star }={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}$

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit ${\hat {H}}={\hat {H}}^{\star }$${\hat {H}}={\hat {H}}^{\star }$. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int \Phi ^{\star }({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int \Phi ^{\star }({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$

Příklad

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

${\hat {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$${\hat {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \left[{\hat {p}},V(x,t)\right]\rangle$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \left[{\hat {p}},V(x,t)\right]\rangle$,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako ${\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \nabla$${\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \nabla$, z čehož plyne ${\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}=0$${\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}=0$. Tedy

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\int \Phi ^{\star }V(x,t)\nabla \Phi ~\mathrm {d} x^{3}-\int \Phi ^{\star }\nabla (V(x,t)\Phi )~\mathrm {d} x^{3}$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\int \Phi ^{\star }V(x,t)\nabla \Phi ~\mathrm {d} x^{3}-\int \Phi ^{\star }\nabla (V(x,t)\Phi )~\mathrm {d} x^{3}$

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle {\hat {F}}\rangle$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle {\hat {F}}\rangle$.

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor ${\hat {F}}$${\hat {F}}$ lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left\langle {\hat {x}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\mathrm {d} {\hat {x}}}{\mathrm {d} t}}\right\rangle ={\frac {\left\langle {\hat {p}}\right\rangle }{m}}$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left\langle {\hat {x}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\mathrm {d} {\hat {x}}}{\mathrm {d} t}}\right\rangle ={\frac {\left\langle {\hat {p}}\right\rangle }{m}}$,

kde $m$$m$ je hmotnost částice.

Zdroj

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Kvantová mechanika