Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar
,
kde
je nějaký kvantově-mechanický operátor a
je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.
Ehrenfestovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.
Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu
. Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru
platí
,
přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor
časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen
.
Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

a také

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit
. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int \Phi ^{\star }({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629a7d72b8dfa4bfb82890abcba539f67fb065c5)
Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako
,
kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme
,
kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako
, z čehož plyne
. Tedy

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme
.
Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor
lze pak chápat jako operátor síly.
Jedná se o příklad principu korespondence.
Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako
,
kde
je hmotnost částice.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.