Ehrenfestovy teorémy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle + \left\langle \frac{\part\hat{A}}{\part t}\right\rangle ,

kde \hat{A} je nějaký kvantově-mechanický operátor a \langle \hat{A}\rangle je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu \Phi. Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru \hat{A} platí

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int \Phi^\star \hat{A} \Phi ~\mathrm{d}x^3 = \int \left( \frac{\part \Phi^\star}{\part t} \right) \hat{A}\Phi ~\mathrm{d}x^3 + \int \Phi^\star \left( \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right) \Phi ~\mathrm{d}x^3 +\int \Phi^\star \hat{A} \left( \frac{\part \Phi}{\part t} \right) ~\mathrm{d}x^3 =
 = \int \left( \frac{\part \Phi^\star}{\part t} \right) \hat{A}\Phi ~\mathrm{d}x^3 + \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle + \int \Phi^\star \hat{A} \left( \frac{\part \Phi}{\part t} \right) ~\mathrm{d}x^3 ,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor \hat{A} časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle.

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

\frac{\part \Phi}{\part t} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\hat{H}\Phi

a také

\frac{\part \Phi^\star}{\part t} = \frac{-1}{\mathrm{i}\hbar}\Phi^\star\hat{H}^\star = \frac{-1}{\mathrm{i}\hbar}\Phi^\star \hat{H}

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit \hat{H}=\hat{H}^\star. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int \Phi^\star (\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}) \Phi ~\mathrm{d}x^3 + \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

 \hat{H}(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) ,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{p},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle \frac{\part \hat{p}}{\part t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle \left[\hat{p},V(x,t)\right]\rangle ,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako \hat{p} = -\mathrm{i}\hbar\nabla, z čehož plyne \frac{\part \hat{p}}{\part t} = 0. Tedy

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \int \Phi^\star V(x,t)\nabla\Phi ~\mathrm{d}x^3 - \int \Phi^\star \nabla (V(x,t)\Phi) ~\mathrm{d}x^3

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle \hat{F} \rangle.

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor \hat{F} lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\langle\hat{x}\right\rangle = \left\langle\frac{\mathrm{d}\hat{x}}{\mathrm{d}t}\right\rangle = \frac{\left\langle\hat{p}\right\rangle}{m},

kde m je hmotnost částice.

Zdroj[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]