Liouvilleův teorém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Liouvilleův teorém je mechanický princip, který má uplatnění zejména ve statistické fyzice.

Teorém říká, že objem určité oblasti ve fázovém prostoru (tedy prostoru zobecněných souřadnic a hybností) se během pohybu (ten je dán Hamiltonovými rovnicemi) nemění, tento objem může pouze měnit svůj tvar.

Zobecněním principu je invariance fázového objemu vůči všem kanonickým transformacím (jednou z nich je právě pohyb).

Jeho důkaz pro jednu dimenzi vychází z jakobiánu a poissonových závorek. Při počítání objemu fázového prostoru v nových souřadnicích integrujeme:

,

kde jakobián lze zapsat pomocí Poissonových závorek a vyjde přesně jednička, protože jakobián v sobě obsahuje derivace starých proměnných ( a ) podle nových ( a ):

.