Liouvilleův teorém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Liouvilleův teorém je mechanický princip, který má uplatnění zejména ve statistické fyzice.

Teorém říká, že objem určité oblasti ve fázovém prostoru (tedy prostoru zobecněných souřadnic a hybností) se během pohybu (ten je dán Hamiltonovými rovnicemi) nemění, tento objem může pouze měnit svůj tvar.

Zobecněním principu je invariance fázového objemu vůči všem kanonickým transformacím (jednou z nich je právě pohyb).

Jeho důkaz pro jednu dimenzi vychází z jakobiánu a poissonových závorek. Při počítání objemu fázového prostoru v nových souřadnicích integrujeme:

,

kde jakobián lze zapsat pomocí Poissonových závorek a vyjde přesně jednička, protože jakobián v sobě obsahuje derivace starých proměnných ( a ) podle nových ( a ):

.