Trojúhelníková nerovnost: Porovnání verzí
m editace uživatele 193.85.203.185 (diskuse) vráceny do předchozího stavu, jehož autorem je JAnDbot značka: rychlé vrácení zpět |
Bez shrnutí editace značky: revertováno školní IP odstraněna reference editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Trojúhelníková nerovnost''' je [[matematická věta]]: ''V každém [[ |
'''Trojúhelníková nerovnost''' je [[matematická věta]]: ''V každém [[Trojúhelník|trojúhelníku]] platí, že součet [[Délka|délek]] kterýchkoliv dvou [[Strana (geometrie)|stran]] je vždy větší než délka strany třetí.'' Obecněji to znamená, že cesta z ''A'' do ''B'' a pak do ''C'' není kratší než cesta z ''A'' přímo do ''C''. Tato [[Nerovnost (matematika)|nerovnost]] je používána v mnoha oblastech matematiky, např. [[Reálné číslo|reálných číslech]], [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]]. Slouží jako [[axiom]] pro zavedení pojmu [[normovaný vektorový prostor]] a [[metrický prostor]]. |
||
| příjmení1 = Havrlant |
|||
| jméno1 = Lukáš |
|||
| titul = Trojúhelník |
|||
| periodikum = Matematika.cz |
|||
| vydavatel = matweb.cz |
|||
| url = https://www.matweb.cz/popis-trojuhelniku/ |
|||
| datum_přístupu = 16.10.2021 |
|||
}}</ref> Obecněji to znamená, že cesta z ''A'' do ''B'' a pak do ''C'' není kratší než cesta z ''A'' přímo do ''C''. Tato [[nerovnost (matematika)|nerovnost]] je používána v mnoha oblastech matematiky, např. [[Reálné číslo|reálných číslech]], [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]]. Slouží jako [[axiom]] pro zavedení pojmu [[normovaný vektorový prostor]] a [[metrický prostor]]. |
|||
== Reálná a komplexní čísla == |
== Reálná a komplexní čísla == |
Verze z 11. 4. 2024, 11:01
Trojúhelníková nerovnost je matematická věta: V každém trojúhelníku platí, že součet délek kterýchkoliv dvou stran je vždy větší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je používána v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.
Reálná a komplexní čísla
V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel a ve tvaru
Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech
Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí
a zároveň
.
Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla a a sečteme-li je, dostáváme
a
.
Z definice absolutní hodnoty víme, že může nabývat jen hodnot nebo . Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
Normovaný vektorový prostor
V normovaném vektorovém prostoru s normou má trojúhelníková nerovnost tvar
pro každé dva vektory a z .
Lp prostory
V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.
Metrický prostor
V metrickém prostoru s metrikou má trojúhelníková nerovnost tvar:
to jest, že vzdálenost a není větší než součet vzdálenosti z do a vzdálenosti z do .
Důsledky
Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar
pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
pro normované vektorové prostory a
pro metrické prostory.
Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.
Odkazy
Reference
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu trojúhelníková nerovnost na Wikimedia Commons