Paradox dvou obálek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Paradox dvou obálek

Paradox dvou obálek je problém považovaný za hádanku, logickou hříčku, filozofický problém, problém z oblasti pravděpodobnosti, teorie optimálního rozhodování, či rekreační matematiky.

V současné době je napsáno několik článků týkajících se tohoto problému ročně.

Zadání problému[editovat | editovat zdroj]

Jsou dvě navzájem nerozlišitelné obálky, v každé z nich je kladná suma peněz a to tak, že v jedné obálce je dvojnásobné množství peněz, než ve druhé. Můžete si vybrat libovolnou z obálek a ponechat si sumu, kterou daná obálka obsahuje. Náhodně si tedy jednu z obálek vyberete, ale předtím, než obálku otevřete, dostanete možnost vyměnit ji za druhou obálku.

Argument proč obálky vyměnit:

  1. Částku ve vybrané obálce označíme A.
  2. Pravděpodobnost, že A je menší z částek v obálkách je 1/2, a pravděpodobnost, že A je větší z částek v obálkách je také 1/2.
  3. Druhá z obálek může obsahovat buď částku A/2, nebo částku 2A.
  4. Jestliže A je menší z částek v obálkách, pak druhá z obálek obsahuje částku 2A.
  5. Jestliže A je větší z částek v obálkách, pak druhá z obálek obsahuje částku A/2.
  6. Tedy, druhá z obálek obsahuje částku 2A s pravděpodobností 1/2 a částku A/2 s pravděpodobností 1/2.
  7. Takže, střední hodnota částky ve druhé obálce je

    {1 \over 2} (2A) + {1 \over 2} ({A \over 2}) = {5 \over 4}A

  8. Toto je větší, než A, v průměru se tedy dá na výměně obálek vydělat.
  9. Po výměně obálek označíme obsah druhé obálky B a pokračujeme v úvahách stejným způsobem, jako nahoře.
  10. Závěr je, že nejracionálnější je znovu obálky vyměnit.
  11. Z důvodu racionality tedy nemůžeme s vyměňováním obálek přestat.
  12. Protože vypadá být mnohem racionálnější vzít si obsah libovolné obálky, než bez přestání obálky vyměňovat, máme zde protimluv (paradox).

Problém spočívá v tom, najít ve výše uvedené argumentaci chybu.

Historie problému[editovat | editovat zdroj]

Historie obálkového paradoxu se datuje nejméně do roku 1953, kdy belgický matematik Maurice Kraitchik publikoval ve své knize Rekreační matematika hádanku týkající se dvou stejně bohatých mužů, kteří se potkají a porovnávají své nádherné kravaty, dárky od svých manželek, dohadující se, která z nich stála více peněz. Je také zmíněn v knize o elementární matematice a matematických hádankách z roku 1953, kterou napsal matematik John Edensor Littlewood, jenž ji připsal fyzikovi Erwinu Schroedingerovi. Martin Gardner popularizoval Kraitchikovu hádanku ve své knize Aha! Gotcha z roku 1982, a to ve formě peněženkové hry:

Dva lidé, stejně bohatí, se potkají a sázejí se o obsah svých peněženek. Žádnému z nich není znám obsah peněženky toho druhého. Sázka spočívá v tom, že kdo má ve své peněžence méně peněz, obdrží také obsah peněženky toho druhého (v případě, že mají oba stejně, nestane se nic). Jeden z mužů může usuzovat: "Mám ve své peněžence částku A. To je maximum, co můžu ztratit. Jestliže vyhraji (pravděpodobnost 1/2), pak částka, kterou budu mít celkem bude větší, než 2A. Z tohoto důvodu je pro mě tato hra výhodná." Druhý člověk může usuzovat přesně stejným způsobem. Ve skutečnosti, kvůli symetrii, je hra spravedlivá. Kde je chyba v úvaze každého z nich?

V roce 1989 Barry Nalebuff uvedl současnou verzi paradoxu dvou obálek, spolu s výpočtem střední hodnoty 5A/4. Martin Gardner nezávisle zmínil tuto verzi ve své knize Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers and the Return of Dr Matrix z roku 1989. Od té doby byl problém uváděn nejčastěji ve formě paradoxu dvou obálek.

Ve současné podobě (zřejmě kvůli zvýšení atraktivity) body 8 až 12 výše zcela nepokrytě poukazují také na Paradox Buridanova osla.

Logická varianta problému[editovat | editovat zdroj]

Logik Raymond Smullyan položil otázku, zda je skutečně paradox závislý na pravděpodobnostech.[1] Přeformuloval proto problém tak, aby neobsahoval zmínku o pravděpodobnosti. Následující logické argumenty vedou k vzájemně si odporujícím závěrům:

  1. Částku v obálce vybrané hráčem označme A. Výměnou obálek může hráč získat A, nebo ztratit A/2. Takže možný zisk je větší, než možná ztráta.
  2. Částky v obálkách označme Y a 2Y. Při výměně obálek může hráč získat Y nebo ztratit Y. Takže možný zisk je roven možné ztrátě.
  3. Částku v obálce, kterou si hráč nevybral označme B. Výměnou obálek může hráč získat B/2, nebo ztratit B. Takže možný zisk je menší, než možná ztráta.

(Smullyan ve skutečnosti uvedl jen argumenty 1 a 2; argument 3 byl přidán později Jamesem Chasem, jenž byl první, kdo publikoval řešení logické varianty.)

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  1. Raymond Smullyan: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy, Portál, Praha, 2004

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]