Kvadratický průměr

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kvadratický průměr je statistická veličina představující druhou odmocninu aritmetického průměru druhých mocnin daných hodnot.

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Matematický zápis výpočtu je následující (n představuje počet hodnot, x_i jsou jednotlivé hodnoty):

 
K= \sqrt {\bar {x^2}} = \sqrt {{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} =
\sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}

V případě spojité funkce f(t) lze vypočítat kvadratický průměr neboli střední kvadratickou hodnotu v určitém intervalu <t_1, t_2> pomocí integrálu:


K = f_{ef} = \sqrt{\bar {f^2}} = \sqrt{ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} {f^2(t) \, \mathrm{d}t} }

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Kvadratický průměr je vždy nezáporný a větší nebo roven aritmetickému průměru. Rovnost nastává, právě když jsou všechny průměrované hodnoty stejné a nezáporné. To je důsledkem Cauchy-Schwarz-Buňakovského nerovnosti pro skalární součin.

Umocnění hodnot na druhou má za následek větší váhu hodnot vzdálenějších od nuly. Vzdáleně to připomíná výpočet váženého průměru.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Diskrétní verze kvadratického průměru se používá například při výpočtu střední kvadratické odchylky, ta je kvadratickým průměrem odchylek.

Spojitý kvadratický průměr - střední kvadratická hodnota se používá rovněž ve statistice nebo fyzice, např. při výpočtu střední kvadratické rychlosti molekul plynu nebo při výpočtu efektivní hodnoty střídavého napětí nebo střídavého proudu.

Související články[editovat | editovat zdroj]