Nerovnosti mezi průměry

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem nějaké skupiny čísel.

Existují ještě další průměry – zobecněný mocninný (např. odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický – které lze do nerovností zapsat. Jejich užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li kvadratický průměr daných kladných čísel jako $K$, aritmetický průměr $A$, geometrický průměr $G$ a harmonický průměr $H$, pak platí:

$K \geq A \geq G \geq H$

Rovnost navíc nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro $a_1=1$, $a_2=2$ je:

$K=\sqrt{2,5} \dot= 1,58 \geq A=1,5 \geq G=\sqrt{2} \dot=1,41 \geq H=1,\overline{3}$

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Kvadratický průměr
• Aritmetický průměr
• Geometrický průměr
• Harmonický průměr

Externí odkazy

• Nerovnosti na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK