Fourierova řada

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu periodického průběhu pomocí funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě řady z funkcí sinus a kosinus je rozklad vektoru do ortogonální báze. Lineárním prostorem je v tomto případě prostor (jistých) funkcí definovaných na intervalu $[-\pi ,\pi ]$ a skalárním součinem je integrál:

(f,g)=\int _{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)dt

S ohledem na tento skalární součin tvoří funkce

[-\pi ,\pi ]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt,\ \ \ n\in \mathbb {N}

ortogonální množinu a pro každou integrovatelnou funkci $f:\ [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {R}$ lze najít její souřadnice vůči uvažované ortogonální množině. Souřadnice odpovídající prvku $e$ je dána vztahem:

$f_{e}={\frac {(f,e)}{(e,e)}}.$

Jelikož $(1,1)=2\pi ,(\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi$ , přiřazujeme funkci $f$ její Fourierovu řadu:

$f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)],$

pro jejíž koeficienty platí vzorce:

$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx$ ,

$a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos {(kx)}dx,\ \ \ k=0,1,2,\dots$ ,

$b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin {(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots$ .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí $f$ a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z lepší množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce $f$ ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodu) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce f aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Související články

Fourierova transformace

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fourierov rad na slovenské Wikipedii.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Fourierova řada na Wikimedia Commons
Fourier Series 3D - interaktivní demonstrace principu Fourierových řad HTML5 a JavaScript: Unikátní interaktivní 3D zobrazení propojující časovou, frekvenční, amplitudovou a fázovou osu.