Ekvivalence (logika)

Název ekvivalence je v logice používán pro binární logický operátor značený symbolem ⇔ ( $\Leftrightarrow \,\!$ ).

Významově odpovídá tento operátor větné konstrukci „právě když“ nebo také „tehdy a jen tehdy, když“ — ekvivalence tedy říká, že spojovaná tvrzení platí pouze zároveň (obě ano, nebo obě ne). Tomu odpovídá i pravdivostní tabulka této operace.

Pravdivostní tabulka

$A$	$B$	$A\Leftrightarrow B$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Vlastnosti a použití

Ekvivalence je používána v logických výpočtech podobným způsobem, jako relace = v aritmetických výpočtech — takový výpočet je obvykle posloupnost ekvivalencí, jako v následujícím případě:
$(a\vee \neg b)\land (\neg a\vee b)\Leftrightarrow a\vee (\neg b\land b)\Leftrightarrow a\vee 0\Leftrightarrow a\,\!$

Pravdivostní hodnota ekvivalence je shodná s pravdivostní hodnotou oboustranné implikace, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:

$a\Leftrightarrow b\,\!$
$(a\implies b)\land (b\implies a)\,\!$

V dvouhodnotové extenzionální logice je pravdivostní hodnota ekvivalence inverzní k pravdivostní hodnotě exkluzivní disjunkce, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:

$a\Leftrightarrow b\,\!$
$\neg ((a\land \neg b)\vee (\neg a\land b))\,\!$

Související články