Binomické rozdělení

Tři příklady binomického rozdělení.

Distribuční funkce odpovídající příkladům nahoře.

Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v $n$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně $n=1$, jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením $X$ ~ $Bi(n,p)$ (někde také jako $B(n,p)$), kde $n$ udává počet pokusů a $p$ udává pravděpodobnost daného jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina $X$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po $n$.

Pravděpodobnost, že jev nastane právě $x$-krát z $n$ pokusů při pravděpodobnosti jevu $p$, je určena rozdělením

$P[X=x] = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}$

Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

$\operatorname{E}(X)=np$

Rozptyl je

$\operatorname{D}(X) = np(1-p)$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

$\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

$\gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z) = {\left[p\mathrm{e}^z + (1-p)\right]}^n$

Příklady

• Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

$n=5, \, x=2, \, p=1/6$

$p_2= {5 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(1-\frac{1}{6}\right)^{(5-2)} \approx 0,16 = 16%$

• Pro $n\to\infty$ a malé pravděpodobnosti, tzn. $p\to 0$, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
• Pro $p$ blízké $\frac{1}{2}$ lze binomické rozdělení již od $n$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.
• Platí dokonce, že Binomické rozdělení $Bi(n,p)$ lze aproximovat normálním rozdělením $N(\mu=np,\sigma^{2}=np(1-p))$ pro dostatečně velká $n$. Důkaz viz odkazy.

Související články

• Poissonovo rozdělení
• Multinomické rozdělení
• Binomická věta – Podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců.

Externí odkazy

• Online kalkulátor Binomického rozdělení
• Důkaz konvergence binomického rozdělení k Normálnímu na stránkách wolframu