Binomické rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v $n$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně $n = 1$ , jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením $X$ ~ $B i (n,π)$ (někde také jako $B (n,π)$ ), kde $n$ udává počet pokusů a $π$ udává pravděpodobnost daného jevu.

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina $X$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po $n$ .

Pravděpodobnost, že jev nastane právě $x$ -krát z $n$ pokusů při pravděpodobnosti jevu $π$ , je určena rozdělením

$P[X=x] = {n \choose x}\pi^x(1-\pi)^{n-x}$

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

$\operatorname{E}(X)=n\pi$

Rozptyl je

$\operatorname{D}(X) = n\pi(1-\pi)$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

$\gamma_1 = \frac{1-2\pi}{n\pi(1-\pi)}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

$\gamma_2 = \frac{1-6\pi(1-\pi)}{n\pi(1-\pi)}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z) = {\left[\pi\mathrm{e}^z + (1-\pi)\right]}^n$

[editovat] Příklady

Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

$n=5, \, x=2, \, p=1/6$

$p_2= {5 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(1-\frac{1}{6}\right)^{(5-2)} \approx 0,16 = 16%$

Pro $n\to\infty$ a malé pravděpodobnosti, tzn. $p\to 0$ , přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
Pro $p$ blízké $\frac{1}{2}$ lze binomické rozdělení již od $n$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.