Koeficient šikmosti

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem $\gamma_1$.

Definice

Koeficient šikmosti je definován jako

$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}$,

kde $\mu_3$ je třetí centrální moment, $\sigma$ je směrodatná odchylka, $\operatorname{E}(X)$ je střední hodnota a $\operatorname{var}\,X$ je rozptyl.

Vlastnosti

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

$g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}$,

kde $\overline{x}$ je výběrový průměr, $m_2$ je výběrový rozptyl a $m_3$ je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:

$\begin{align} G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\ b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1 \end{align}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí $\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skewness na anglické Wikipedii.