Centrální moment

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo k je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje \mu_k.

Definice[editovat | editovat zdroj]

K-tý centrální moment náhodné veličiny X je definován vzorcem

\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right],

kde \mu je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i,

kde p_i je pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty x_i.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x,

kde f(x) je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů[editovat | editovat zdroj]

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem \sigma^2 nebo \operatorname{var}\,X.

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)

Pro násobení konstantou platí

\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)

Pro k\leq 3 a nezávislé náhodné veličiny X, Y platí

\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime,

kde \mu je střední hodnota a \mu_i^\prime je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment[editovat | editovat zdroj]

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

 m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:[1]


\begin{align}
M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2 \\
M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3 \\
M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2 \\
\end{align}

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Central moment na anglické Wikipedii.

  1. Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population [online]. Michigan SAS Users Group, [cit. 2011-07-18]. Dostupné online. (anglicky)